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Para $2 \times 2$ matrices $AB=-BA$$BA$$0$, demuestran que, a $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)=\mathrm{tr}(AB)=0$

Es fácil derivar de $AB=-BA$ que $\mathrm{tr}(AB)=0$ desde $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(-BA)=-\mathrm{tr}(BA)=-\mathrm{tr}(AB)$. Sin embargo, no puedo conseguir ese $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)=0$ sin que el hecho de que $A$ $B$ es invertible.

Mi Profesor me sugirió el uso de Cayley-Hamilton Teorema. Sin embargo, eso sólo me da un extra de unos pocos condiciones de los elementos de la $A$$B$, y todavía no puedo conseguir que sus huellas igualdad de $0$.

Todas las ideas son muy apreciados!

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egreg Puntos 64348

El Cayley-Hamilton teorema dice que $$ A^2-\operatorname{tr}(a)+\det(A)I=0 $$ Si multiplicamos por $B$ de la derecha: $$ A^2B-\operatorname{tr}(A)AB+\det(A)B=0 $$ Si multiplicamos por $B$ de la izquierda: $$ BA^2-\operatorname{tr}(A)BA+\det(A)B=0 $$ Restando las dos relaciones: $$ A^2B-BA^2-2\operatorname{tr}(A)AB=0 $$ Por otro lado, $A^2B=AAB=-ABA=BAA=BA^2$.

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Chris Ballance Puntos 17329

Aquí es una alternativa a prueba sin el uso de Cayley-Hamilton teorema. Suponemos que el campo subyacente tiene características de las $\ne2$, de lo contrario $A=B=\operatorname{diag}(1,0)$ sería dar un contraejemplo. Como usted dijo, $\operatorname{tr}(AB)=0$. Queda por demostrar que $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)=0$.

Si tanto $A$ $B$ es invertible, entonces a$ABA^{-1}=-B$$B^{-1}AB=-A$. Tomando huellas en ambos lados de cada ecuación, la conclusión de la siguiente manera.

Si al menos una de las dos matrices es singular, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $B=uv^T$. La condición de $AB=-BA\ne0$ implica que el $Auv^T=-uv^TA\ne0$. Por lo tanto $\{Au,u\}$ e e $\{v^TA,v^T\}$ son dos pares de distinto de cero vectores paralelos. Por lo tanto $Au=\lambda u$ algunos $\lambda\ne0$. Sustituir esto en $Auv^T=-uv^TA$, también conseguimos $v^TA=-\lambda v^T$. Por lo tanto, $\lambda$ $-\lambda$ son los autovalores de a $A$. Por supuesto, el campo tiene características de las $\ne2$. Por lo tanto $\lambda$ $-\lambda$ son distintos autovalores de a$A$$\operatorname{tr}(A)=0$.

Finalmente, como $A$ tiene distintos autovalores distintos de cero, es invertible. Así, nuestro argumento anterior ($ABA^{-1}=-B$) muestra que el $\operatorname{tr}(B)=0$. Alternativamente, la conclusión se sigue de la observación de que $0=\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(Auv^T)=\operatorname{tr}(\lambda uv^T)=\lambda\operatorname{tr}(B)$.

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