Es esta $0v=0$ prueba correcta?

Question

Me estoy tomando mi primer curso de álgebra lineal en la universidad y recientemente he sido introducidos a los espacios vectoriales. Ahora, el profesor nos ha pedido que demostrar que $0v=0$ cualquier $v$ utilizando sólo la definición de un espacio vectorial. He venido con una prueba, pero no estoy seguro de si es correcta o no, ya que no estoy familiarizado con las pruebas de Matemáticas.

$$ \begin{align}(1+1)v &= 2v \\ (1+1)v-2v &= 2v-2v\\ [(1+1)-2]v &= 2(v-v) \\ 0v &= 0 \end{align} $$

Si esto es correcto no puedo seguir probando otras propiedades de los espacios vectoriales. Cualquier comentario apreciado!

EDIT: Ok, teniendo en cuenta que José de la respuesta, se me ocurrió este $$ (1+0)v=v \\ 1v+0v=v \\ -v+v+0v=-v+v \\ 0v=0 $$

Answer 1

La prueba tiene algunos problemas. ¿Qué es $-2v$? Es $-(2v)$ o es $(-2)v$? Si es $-(2v)$, entonces usted podría saltar directamente de $2v-2v$$0$, pero entonces, ¿cómo sabes que $(1+1)v-2v=\bigl((1+1)-2\bigr)v$? Y si $-2v$$(-2)v$, entonces, ¿cómo sabes que $2v-2v=2(v-v)$?

Answer 2

Usted puede escribir una prueba que no requiere de $(-1)v=-v$: $$ 0v=(0+0)v\\ 0v=0v+0v\\ 0v-(0v)=0v+0v-(0v)\\ 0=0v $$ Tenga en cuenta que $x-y$ medio $x+(-y)$; con $-(0v)$ I denotar la negativa de $0v$.

Donde hace su intento de salir mal? Con la misma convención, como antes, usted puede hacer $(1+1)v-(2v)=2v-(2v)$. El lado derecho es $0$, por definición, de $-(2v)$, pero no se puede ir de $(1+1)v-(2v)$ $((1+1)-2)v$menos que pruebe que $$ -(2v)=(-2)v $$ lo cual es cierto, pero por desgracia depende de $0v=0$. De hecho, para cualquier escalar $a$, $$ av+(-a)v=(a+(-a))v=0 v=0 $$ por lo $(-a)v$ suman a$av$$0$, lo que significa que $(-a)v$ es el negativo de $av$: $$ (-a)v=-(av) $$ Tenga en cuenta que en todo esto la propiedad $1v=v$ no se ha utilizado. Con él podemos también del estado $$ (-1)v=-(1v)=-v $$