Computación $h^0(\mathbb{F}_n, \mathcal{O}_{\mathbb{F}_n}(aC_0+bF))$ en una superficie de Hirzebruch

Question

Vamos $\mathbb{F}_n=\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-n))$, $n\neq 1$ ser un Hirzebruch de la superficie. Existe una sección de $C_0$ natural de la proyección de a $\mathbb{P}^1$ tal que $C_0^2=-n$. Por otro lado, llamamos a $F$ a una fibra de esta proyección. Tenemos que: $$ \mathrm{Pic}(\mathbb{F}_n)=\mathbb{Z}\langle C_0\rangle\oplus\mathbb{Z}\langle F\rangle. $$ En otras palabras, cualquier divisor es linealmente equivalente a $aC_0+bF$ para algunos enteros $a,b$.

Mi pregunta es, podemos calcular $h^0(\mathbb{F}_n, \mathcal{O}_{\mathbb{F}_n}(aC_0+bF))$?

Answer 1

Una forma más directa es calcular primero el pushforward de la línea de paquete con respecto a la proyección de $p \colon \mathbb{F}_n \to \mathbb{P}^1$. Suponga $a \ge 0$. Uno tiene $$ p_*\mathcal{S}(aC_0 + bF) \cong \mathcal{S}(b) \otimes Sym^(\mathcal{S} \oplus \mathcal{S}(-n)) \cong \mathcal{S}(b) \oplus \mathcal{S}(b-n) \oplus \dots \oplus \mathcal{S}(b -) $$ y ya $$ H^0(\mathbb{F}_n, \mathcal{S}(aC_0 + bF)) \cong H^0(\mathbb{P}^1, p_*\mathcal{S}(aC_0 + bF)), $$ queda para aplicar la fórmula estándar para el mundial de secciones de línea de paquetes en $\mathbb{P}^1$.

Answer 2

Firs, aviso que si $a<0$, $(aC_0+bF)\cdot F=a<0$ y desde $F$ es nef, el $h^0=0$. Así, podemos suponer que $a\geq 0$. La próxima intersección con la a $C_0$, podemos ver que si $b<an$,$h^0(aC_0+bF)=h^0((a-1)C_0+bF)$. Así, sólo tenemos que entender el $h^0$ al $a\geq 0, b\geq an$. Utilizamos la inducción en $a$ si $a=0$, podemos ver que $h^0(bF)=b+1$. El siguiente uso de la secuencia exacta $0\to (a-1)C_0+bF\to aC_0+bF\to \mathcal{O}_{C_0}(b-an)\to 0$. Un fácil de inducción dará el $h^1$ a ser cero y por lo tanto obtenemos $h^0(aC_0+bF)=(a+1)(b+1)-n\frac{a(a+1)}{2}$ al $a\geq0, b\geq an$.