La ecuación de Diophantine $x_1^6+x_2^6+x_3^6=z^2$ donde exactamente un $(x_i)\equiv 0{\pmod 7}$.

Question

Aparte de la trivial $a^6+0^6+0^6=(a^3)^2$, primitivo soluciones que parecen difíciles de encontrar.

Eso es primitivo como en el no de la forma $(kx_1,kx_2,kx_3,k^3z)$ donde $(x_1,x_2,x_3,z)$ es una solución más pequeña.

Tan lejos como puedo ver, ya sea en uno o dos de $(x_1,x_2,x_3)\equiv 0{\pmod 7}$

En mi humilde opinión, los dos casos son muy diferentes.

Esta pregunta se refiere al caso donde exactamente un $(x_i)\equiv 0{\pmod 7}$.

Mi primitiva soluciones

$$(42,100,81,1134865)$$ $$(168,90,85,4836493)$$ $$(350,324,207,55441585)$$ $$(140,390,213,60163597)$$ $$(378,369,278,76831633)$$ $$(924,1230,715,2053967149)$$

He tratado de montaje mis soluciones numéricas en conocido paramétrica de soluciones a $a^2+b^2+c^2=d^2$, pero sin llegar a la comprensión. Para ejemplos de paramétrica de soluciones a $a^2+b^2+c^2=d^2$, ver https://sites.google.com/site/tpiezas/004

Sé que la sexta potencia de los residuos ${\pmod 7}$, ${\pmod 8}$ y ${\pmod 9}$ $0$ o $1$ y $z\equiv 3{\pmod 7}$ o $z\equiv 4{\pmod 7}$

Mi Pregunta

Puede alguien por favor, realice una de las siguientes:

Se adapta a mis soluciones en el conocido paramétrica de soluciones a $a^2+b^2+c^2=d^2$?

Encontrar un paramétrica de soluciones que da un nuevo primitiva soluciones?

Me apunte en la dirección de cualquier trabajo anterior en $x_1^6+x_2^6+x_3^6=z^2$ ?

Encontrar más primitivo soluciones?

Actualización 28 de abril de 2018

La respuesta de @Sam proporciona estos resultados, además de otros demasiado grande para mí para comprobar fácilmente. Sin embargo, ciertamente no proporciona todas las soluciones pequeñas, así que estoy seguro de que hay más de encontrar.

$$(2184,2518,2043,20883327517)$$ $$(3087,4482,3404,102604114673)$$ $$(5306,10617,4728,1210664898377)$$ $$(29316,13469,5802,25313949479269)$$ $$(79758,87036,36221,833297083257349)$$ $$(502026,462741,29408,160707356499029581)$$

Answer 1

La ecuación de arriba se muestra a continuación:

$x^6+y^6+z^6=w^2$

Hay dos soluciones numéricas para $(x,y,z)< 5000$ $(x,y,z,w)=(2043,2184,2518,20883327517)$

$(x,y,z,w)=(3087,3404,4482,102604114673)$

Por encima de las soluciones, incluyendo la solución numérica mostrada por "OP" $(x,y,z,w)=(140,213,390,60163597)$

se han llegado a a través de la curva elíptica método por Seiji Tomita en su sitio web se muestra a continuación:

  http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/eindex.html

Haga clic en el enlace de arriba y seleccione 'Computional la teoría de los números" y

echa un vistazo a sus artículos # 166 #167

Answer 2

Ecuación: $x^6+y^6+z^6=w^2$ \begin{align} \left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(X,Y_i)-f(X)\right|&\leq \underbrace{\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[g(X,Y_i)-g(X_{\epsilon},Y_i)]\right|}_{\leq \epsilon} \\ &\quad +\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(X_{\epsilon},Y_i) - f(X_{\epsilon})\right|\\ &\quad + \underbrace{\left|f(X_{\epsilon})-f(X)\right|}_{\leq \epsilon} \end(1)

Con respecto a la posterior petición de @OldPeter ayer, por favor ver más abajo:

Se refieren a Andrew Bremner & M. Ulas de 2011 en papel en la revista Internacional de teoría de los números, páginas 2018-2090, vol. 8 No 07, tener título de $ (x^a±y^b±z^c±w^d=0)$

El documento incluye otras soluciones numéricas de la ecuación (1) anterior:

$(x, y, z, w )$

$694, 945, 1308, 2414891825$

$42, 873, 3596, 46505412377$

$792, 3759, 5038, 138465240337$

$1515, 3262, 5160, 141747483853$

$2975, 4950, 7902, 508783710817$

$4410, 5463, 8270, 594854319097$

$5340, 6626, 9765, 987341285501$

$1689, 10528, 14886, 3498954949801$

$588, 8224, 26097, 17782152244433$

$834, 17094, 21373, 10966834991269$

$1182, 14644, 24597, 15209227541197$

Answer 3

Aquí está un cerca de la solución. Si usted tiene una primitiva de la solución,de

$$(2a)^\color{red}2+b^6+c^6 = (2d)^2$$ usted puede encontrar una infinita más con la identidad,

$$(a x^6 - d x^6 + a y^6 + d y^6)^\color{red}2 + (b x y)^6 + (c x y)^6= (a x^6 - d x^6 - a y^6 - d y^6)^2$$

para arbitrario $x,y$.

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Ejemplo: Dado,

$$(81^3)^2+42^6+100^6 = 1134865^2$$

Por lo tanto $a=81^3/2$$d = 1134865/2$. El uso de $x= 2,\,y=1$, entonces,

$$18476415^2 + 84^6 + 200^6 = 20142721^2$$

e infinitamente muchos más en donde al menos uno de los $x,y$ es impar.

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P. S. Es tantalizes puede haber una identidad similar si $\color{red}2$ es elevado a $6$.

Answer 4

aquí es la correcta parametrización de la primitiva de Pitágoras cuádruples