Considere la posibilidad de un cerrado superficie hiperbólica de género $n$, con una geodésica, al menos, inmerso en la superficie - es decir, las intersecciones son permitidos. Considere la posibilidad de la elevación de este geodésica para la universalización de la cobertura de la superficie. Es la acción de grupo fundamental en la elevación de la geodésica en la universalización de la cobertura transitiva?
Respuesta
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tariqsheikh
Puntos
58
Sí, la cubierta de transformación grupo actúa transitivamente sobre los ascensores de la línea geodésica.
Para la prueba, tomar un punto de $p$ sobre la línea geodésica $\gamma$, que no es una auto-punto de intersección.
Tome todo el levante de ese punto a la universalización de la cobertura, llame a ese conjunto $P$. La cubierta de transformación grupo actúa transitivamente sobre $P$ (que es una razón por la que hemos escogido $p$ a no ser un auto-punto de intersección).
Para cualquiera de los dos levantó geodesics $\tilde\gamma_1,\tilde\gamma_2$, pick $p_1,p_2 \in P$, de modo que $p_i \in \tilde\gamma_i$. Elegir una cubierta de transformación de $g$ tal que $g\cdot p_1 = p_2$. Por lo tanto, $g \cdot \tilde\gamma_1$ $\tilde\gamma_2$ son cada uno de los ascensores que pasa a través de $p_2$. Pero hay un único ascensor de $\gamma$ a través de $p_2$ (que es otra razón por la que hemos escogido $p$ a no ser un auto-punto de intersección), y por lo $g \cdot \tilde\gamma_1 = \tilde\gamma_2$.
