La suma de las series $\frac{(\log3)^1}{1!}+\frac{(\log3)^3}{3!}+\frac{(\log 3)^5}{5!}+\cdots$ ¿es qué? ¿Existe un algoritmo general para encontrar la suma de logaritmos?
Me preguntaba qué serie de taylor era, me olvidé de los hiperbólicos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?La serie en sí no tiene demasiado que ver con los logaritmos; para ver por qué sin perderse con la $\log$ en todas partes, que $\alpha = \log 3$ . Usted quiere $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{(\log 3)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sinh \alpha $$ por la definición de serie de $\sinh$ . Dicho esto, ahora tenemos simplificaciones porque $\alpha=\log 3$ . En efecto, recordemos que, para cada $x\in\mathbb{R}$ , $$ \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} $$ y por lo tanto aquí $$ \sinh \log 3 = \frac{e^{\log 3}-e^{-\log 3}}{2} = \frac{3-1/3}{2} = \boxed{\frac{4}{3}}\,. $$
@ClementC: si no reconocemos qué serie de Taylor, ¿cuál es un buen procedimiento? Este es impar, y tiende a +/-infinito.
@smci Siempre tienes la opción de probar con un software matemático formal, por ejemplo Mathematica o Wolfram Alpha, para obtener una pista que "reconozca" la serie. Pero si no, aquí, ¿lo habrías reconocido con un $(-1)^n$ en cada término? (para obtener $\sin$ ) Si es así, entonces reconocer $\sinh$ no es demasiado difícil. O podría reconocer directamente algo como "sólo los índices impar de $\exp$ ", por lo que pensar en $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ (la parte impar de $\exp$ ) es natural.
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¿Tal vez una serie de Taylor?