La analítica número de clase de la fórmula nos dice que la Dedekind zeta función de $\zeta_K$ de un campo de número de $K$ tiene un polo en $s=1$ con residuos $$\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\text{Reg}_Kh_K}{w_K\sqrt{|\Delta_K|}}.$$ Is there a quick way to see that $\zeta_K$ should have a pole at $s=1$ without explicitly computing the residue? Is there some theorem concerning $L$-funciones que los rendimientos de este hecho de inmediato?
Respuesta
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user11323
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No es demasiado difícil si $K/\mathbb Q$ es un abelian extensión. Poner $G$ a ser el grupo de Galois de $K/\mathbb Q$. Luego tenemos la factorización $$ \zeta_K(s) = \zeta(s) \prod L(s, \chi) $$ donde $\chi$ carreras más trivial personajes de $G$. Estos son los caracteres de Dirichlet, y por Dirichlet sabemos que estos son nonvanishing en $s=1$, por lo que obtener un (simple) de un polo para$\zeta_K$$s=1$.
Si $K/\mathbb Q$ es de Galois, uno tiene un análogo de la factorización en términos de Artin $L$-funciones, $L(s,\rho)$ donde $\rho$ carreras más trivial irreductible representaciones de $G$. Por un teorema de Brauer, una vez más sabe $L(1, \rho) \ne 0$ y obtenemos el resultado deseado.
Finalmente, para $K/\mathbb Q$ no Galois, uno puede mirar en el cierre de Galois $L$ y comparar los Artin factorizations para$L/\mathbb Q$$L/K$, que si mal no recuerdo te da lo que quieres.
Sin embargo, no he pensado en los detalles de cualquiera de estos enfoques (Artin $L$-función o analítica número de clase de la fórmula) lo suficientemente reciente como para tener una opinión sobre el enfoque que debe ser considerado "más rápido." (Uno también necesita decidir por dónde empezar la carrera).
