7 votos

Muestran que

Mostrar que $\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x\cdot \cos x}{x+1}dx=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi +2}-A)$ donde $A=\int_0^\pi\frac{\cos x}{(x+2)^2}dx$.

He intentado utilizar la integración parcial en la integral de la $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x\cdot \cos x}{x+1}dx$ pero no tengo suerte. También se trató el uso de $\frac12A=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{(x+2)^2}dx$. Sin embargo, algo va mal . Por favor, sugiera.

La mejor que pude pensar es :

$\int {\dfrac{sin2x}{2x+2}dx}=-\dfrac{1}{2x+2}cos2x+\dfrac{1}{4}\int {\dfrac{cos2x}{(x+1)^2}dx}$

Observe cuidadosamente que el $\int_0^\pi\frac{\cos x}{(x+2)^2}dx$ tiene la misma estructura $\int {\dfrac{cos2x}{(x+1)^2}dx}$

P. S. a Ver yo a propósito evitar la larga detalles de mis esfuerzos como que dificultaría el understandibility del problema y puede inducir a error a la contestadora así.

5voto

Sólo un par de pequeños errores en el OP.

\begin{align*} \mathcal{I} \equiv\int_0^{\pi/2} \frac{ \sin x \cos x}{x+1}\,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} \frac{ \sin 2x }{2x+2}\,\mathrm{d}x \tag*{, then denote %#%#%} \\ &= \frac12\int_0^{\pi} \frac{ \color{blue}{\sin u} }{u+2}\,\color{blue}{\mathrm{d}u} \tag*{, then by-part ...} \end{align*} ... vamos a $u = 2x$ ir juntos \begin{align*} \mathcal{I} &= \frac12 \left[ \frac{ -\cos u }{u+2}\Bigg|_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\cos u) \cdot \frac{ -1 }{ (u+2)^2 }\,\mathrm{d}u\right ] \\ &= \frac12 \left[ \frac1{ \pi + 2} - \frac{-1}{2} - \int_0^{\pi} \frac{ \cos u}{ (u+2)^2 }\,\mathrm{d}u\right] \end{align*} cual es el resultado deseado.

2voto

guest Puntos 1

Usted está en el derecho de las líneas!

$$\small\int_0^{\pi/2} {\frac{\sin2x}{2x+2}dx}=\left[-\frac{1}{2x+2}\cos2x\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2} {\frac{\cos2x}{(2x+2)^2}dx}=\frac12\left(\frac12+\frac1{\pi+2}\right)-\int_0^{\pi/2} {\frac{\cos2x}{(2x+2)^2}dx}$$ Now use the substitution $u=2x$.

0voto

Acccumulation Puntos 13

El cambio de los límites de $\frac{\pi}{2}$ $\pi$sugiere la sustitución de $u = 2x$.

Este, a continuación, sugiere que usted necesita para reescribir $\sin(x)\cos(x)$ en términos de las funciones trigonométricas de $2x$. Así que el siguiente paso es consultar doble ángulo de fórmulas.

Ya ha averiguado que necesitará de integración parcial, por lo que usted sabe que tiene algo que, o bien se diferencia o se integra a $\cos$.

Entonces, ¿qué función de $2x$ tiene una derivada o la integral de la $\cos$, y es igual a un producto de $\sin$$\cos$?

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