$$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{e^n(n^2+1)}$$
Esta serie converge porque el término general que se va a $0$ más rápido que el de $\dfrac1{n^2}$
Estoy pidió a la aproximación de la serie con un error de $R<10^{-3}$.
¿Cómo puedo hacer esto? Sé que
$$R=\left\lvert S-S_k\right\rvert=\left\lvert \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{e^n(n^2+1)}-\sum_{n=0}^{k}\frac1{e^n(n^2+1)}\right\rvert=\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac1{e^n(n^2+1)}$$ y que
$$\int_{k+1}^\infty \frac1{e^x(x^2+1)}\mathrm dx\le\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac1{e^n(n^2+1)}\leq\int_{k}^\infty \frac1{e^x(x^2+1)}\mathrm dx$$
Mi intento:
$$R=\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac1{e^n(n^2+1)}\le\frac1{(k+1)^2+1}\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac1{e^n}\underbrace\le_{(1)}\frac1{(k+1)^2+1}\int_k^\infty \frac1{e^x}\mathrm dx= \frac1{(k+1)^2+1}\frac1{e^k}<10^{-3}\quad (*)$$
$(1):$ a medida que la serie es decreciente, positiva y continua, que puede cambiar a la integral.
$(*)$ es cierto para $k=4$.
Es este un enfoque correcto?
P. S. El ejercicio proviene de Cálculo Problemas, 16.18, página 231.
