producto de $f(x)f(y)f(z) \geq1 $ para $f(x)=ax^2+bx+c$ con $xyz=1$ y $a+b+c=1$ .

Question

Deje que $a,b,c,x,y,z$ ser reales positivos con $xyz=1$ y $a+b+c=1$ .

Deje que $f(x)=ax^2+bx+c$ . Pruebe $f(x)f(y)f(z) \geq 1$ .

Estoy atascado, he intentado un montón de cosas pero lo mejor que he conseguido es:

$f(x)f(y)f(z) \geq 27 \sqrt [9]{abc}$ que es inútil.

Answer 1

Por el titular: $$(ax^2+bx+c)(ay^2+by+c)(az^2+bz+c)\geq\left(a\sqrt[3]{x^2y^2z^2}+b\sqrt[3]{xyz}+c\right)^3=1.$$