Esta no es una respuesta completa; yo no soy un experto en lineales invariantes de los grupos, pero tal vez usted encontrará las siguientes observaciones útil de todos modos.
En primer lugar, desde el grupo $G$ es compacto, existe un $G$-equivariant proyección operador $$\pi: \mathbf{R}[V] \to \mathbf{R}[V]^G$$ obtained via averaging over $G$ with respect to a $G$-invariante de la medida. Este mapa satisface
$$\pi(fg)=f \pi(g) \quad \hbox{for all $f \in \mathbf{R}[V]^G$ and $g \in \mathbf{R}[V]$.}$$
Deje $I$ ser el ideal en $\mathbf{R}[V]$ generado por el grado positivo elementos de $\mathbf{R}[V]^G$. Por Hilbert teorema de la base, $\mathbf{R}[V]$ es Noetherian, $I$ es generado por un conjunto finito $f_1,\dots,f_s$ de positivos grado de polinomios homogéneos. Esta es la ineficacia del paso del argumento, ya que es la base de Hilbert teorema---y aquí es donde mi falta de experiencia es un problema: no sé cómo hacer este paso eficaces computacionalmente.
El reclamo es que el $f_1,\dots,f_s$ generar $\mathbf{R}[V]^G$ como un álgebra. Para demostrar esto, basta observar que si $f \in \mathbf{R}[V]^G$ es homogénea de grado positivo, entonces no son homogéneos $g_1,\dots,g_s \in \mathbf{R}[V]$ con
$$f=\sum g_i f_i \quad \implies f=\pi(f)=\sum f_i \pi(g_i).$$ By induction on the degree, each $\pi(g_i)$ is in the algebra generated by $f_1,\dots,f_s$.
