Construcción poco clara en un artículo de Ornstein y Weiss

Question

Necesito ayuda para entender la siguiente construcción (tomada del artículo "Entropía y teoremas de isomorfismo para acciones de grupos amenables"):

Comienza tomando el producto directo de dos odómetros diádicos. El espacio para este $\mathbb{Z^2}$ -la acción puede considerarse como el conjunto de todas las formas de organizar $\mathbb{Z^2}$ primero en un mosaico por
$2$ x $2$ cuadrados, entonces un mosaico por $4$ x $4$ cuadrados, cada uno de ellos alicatado por el $2$ x $2$ cuadrados, entonces un mosaico por $8$ x $8$ cuadrados, etc. $\mathbb{Z^2}$ actúa sobre este espacio de patrones mediante traslaciones. Junto a cada uno de estos patrones asociaremos a cada elemento de $\mathbb{Z^2}$ a variable aleatoria que toma los valores $+-$ con probabilidad $(1/2,1/2)$ . Estas variables aleatorias serán independientes, sujetas a las siguientes restricciones:

$(1)$ en cada $2$ x $2$ cuadrar el par inferior es igual al par superior;

$(2)$ en cada $4$ x $4$ cuadrado, el par izquierdo de $2$ x $2$ cuadrados es igual al par derecho de $2$ x $2$ cuadrados;

$(3)$ en cada $2^3$ x $2^3$ cuadrar el par inferior de $2^2$ x $2^2$ cuadrados es igual al par superior de $2^2$ x $2^2$ cuadrados;
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$(2n)$ en cada $2^{2n}$ x $2^{2n}$ cuadrado la mitad izquierda del cuadrado es igual a la derecha del cuadrado;

$(2n+1)$ en cada $2^{2n+1}$ x $2^{2n+1}$ cuadrado la mitad inferior del cuadrado es igual a la superior superior del cuadrado.
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Está claro que a lo largo del $45^$ diagonales se ven variables aleatorias independientes, así la entropía de $ST$ es al menos $\log 2$ mientras que en las direcciones vertical y horizontal el entropía se mata porque se repite exactamente, infinitas veces. Así, $h(S)= h(T)=0$ pero $h(ST)\log2$ .

No entiendo qué es exactamente el espacio de medida en esta construcción. ¿Es el conjunto subyacente un subconjunto de $\mathrm{odometer}$ x $\mathrm{odometer}$ x $\{+,-\}^{\mathbb{Z^2}}$$ ?$ ¿Cuál es la medida?
¿Alguien puede ayudarme a resolverlo? Probablemente sea estándar.
Gracias.

Aquí es una imagen de la construcción, si lo prefiere.

Answer 1

Odómetros

Hasta ciertas variaciones, un cuentakilómetros es el sistema dinámico topológico cuyo espacio de estados es $\mathbb{Z}_2$ el conjunto de $2$ -enteros radicales y la transformación es $T(x) = x+1$ .

Si nunca has visto esto antes: $\mathbb{Z}_2$ es la finalización de $\mathbb{Z}$ para la distancia $d(x,y) = 2^{-\max \{n: 2^n | x \wedge 2^n | y\}}$ . Es un grupo topológico compacto.

En la práctica, se puede ver un elemento de $\mathbb{Z}_2$ como un número binario no terminante (a la izquierda) $\ldots 010011$ donde se suman dos números de la forma habitual (con el acarreo a la izquierda). Por ejemplo, $\ldots 010011+1 = \ldots 010100$ . Topológicamente, es homeomorfo a $\{0,1\}^\mathbb{N}$ . A veces también puede verlos representados por números decimales binarios, como $0.110010 \ldots$ pero con el transporte a la derecha. Por ejemplo, $0.110010 \ldots+0.1 = 0.001010 \ldots$ .

Como grupo topológico compacto, $\mathbb{Z}_2$ admite una única medida de probabilidad invariable por traslación, su Medida de Haar $\mu_H$ . Su distribución es la misma que la de elegir todos los dígitos binarios de forma independiente, $0$ o $1$ con probabilidad $1/2$ .

Resulta que $(\mathbb{Z}_2, T)$ es únicamente ergódica, siendo su única medida de probabilidad invariante la medida de Haar.

Tilings

¿Qué tiene que ver esto con los tilings? Bien, consideremos los tilings en $\mathbb{Z}$ . Sólo hay dos tilings de $\mathbb{Z}$ con baldosas de longitud $2$ : el que tiene puntos finales en enteros pares, y el que tiene puntos finales en enteros Impares.

Hay cuatro tilings de $\mathbb{Z}$ con baldosas de longitud $4$ . Sin embargo, si nos dan un mosaico por baldosas de longitud $2$ Sólo dos de ellos son compatibles. Por ejemplo, si nos dan el mosaico par de longitud $2$ entonces los tilings compatibles de longitud $4$ son aquellos cuyos puntos finales son $0[4]$ o aquellos cuyos puntos finales son $2[4]$ .

Lo mismo ocurre con los tilings de longitud $8$ son ocho, pero sólo dos de ellas son compatibles con cualquier mosaico de longitud $4$ .

Dejemos que $X$ sea el conjunto de secuencias de tilings $(T_2, T_4, T_8, \ldots)$ , donde $T_{2^n}$ es un mosaico por baldosas de longitud $2^n$ y todos son compatibles. Entonces, al refinar el mosaico, tenemos dos opciones en cada paso, por lo que este conjunto puede hacerse fácilmente en biyección con $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ .

Para una biyección específica, para $n \geq 1$ , dejemos que $u_n$ sea el menor valor no negativo de un extremo de una baldosa de longitud $2^n$ , poned $u_0 := 0$ y dejar:

$$x_n = \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \text{ if } & u_n = u_{n-1} \\ 0 & \text{ if } & u_n > u_{n-1} \end{array}\right.,$$

Entonces toma $x := \ldots x_3 x_2 x_1 \in \mathbb{Z}_2$ . Por ejemplo, $x = \ldots 010$ significa que el $2$ -tiles terminan en valores Impares, el $4$ -Tiles on $1[4]$ y el $8$ -Tiles on $5[8]$ valores.

Esto da lugar a una biyección $\varphi : X \to \mathbb{Z}_2$ . Lo bueno es que su conjuga la traducción por $+1$ en $\mathbb{Z}$ (o más bien, la traducción $\widetilde{T}$ de $-1$ de los tilings) con $T$ :

$$\varphi \circ \widetilde{T} = T \circ \varphi.$$

Esto le da una interpretación geométrica del cuentakilómetros como secuencias de tilings. Como corolario, $X$ lleva una única medida de probabilidad invariable por traslación.

He aquí un ejemplo de mosaico, su codificación y el efecto del desplazamiento:

La construcción

Ahora, $\mathbb{Z}^2$ actúa sobre $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ por producto directo: $(n,m) \cdot (x,y) = (T^n (x), T^m (y))$ . Pero $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ pueden ser vistos como tilings de $\mathbb{Z}^2$ por cuadrados (o mejor dicho, como secuencias compatibles de tilings por cuadrados de lado $2^n$ ); entonces $\mathbb{Z}^2$ actúa simplemente mediante la traducción.

El conjunto que construyen es $\Omega \subset \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \{\pm 1\}^{\mathbb{Z}^2} \simeq X \times X \times \{\pm 1\}^{\mathbb{Z}^2}$ correspondientes a las marcas compatibles con ambos tilings (es decir, los triples $(x,y,z) \in X^2 \times \{\pm 1\}^{\mathbb{Z}^2}$ donde $z$ cumple una condición basada en $x$ et $y$ ).

En cuanto a la medida: la única $\mathbb{Z}^2$ -medida invariante en $X^2$ es $\varphi^* \mu_H \otimes \varphi^*\mu_H$ . Entonces, dado $(x,y) \in X^2$ los autores describen una medida sobre el conjunto de buenas marcas $C(x,y) \subset \{ \pm 1 \}^{\mathbb{Z}^2}$ . Esta es la distribución $\nu_{x,y}$ de $z$ condicionado a $(x,y)$ . La medida total es (abusando de la notación y escribiendo $\mu_H$ para $\varphi^* \mu_H$ ):

$$\mu := \iint \delta_x \otimes \delta_y \otimes \nu_{x,y} \ d \mu_H (x) \ d \mu_H (y).$$

Veamos con más detalle este paso. Fijar $x$ et $y$ , es decir, fijar una secuencia de tilings de $\mathbb{Z}^2$ . Sea $\sim$ sea la relación de equivalencia en $\mathbb{Z}^2$ generada por el mosaico y la regla prescrita. Es decir, si $\{(a,b), (a+1, b), (a, b+1), (a+1,b+1)\}$ es un $2\times 2$ baldosa, entonces $(a,b) \sim (a, b+1)$ et $(a+1,b) \sim (a+1, b+1)$ etc.

Entonces tenemos contablemente cualquier clase de equivalencia $(\alpha_n)_{n \geq 0}$ en $\mathbb{Z}^2$ . Sea $(X_n)_{n \geq 0}$ sea i.i.d., con valor $\pm 1$ con probabilidad $1/2$ . Por último, dejemos que $Y (a,b) := X_n$ siempre que $(a,b) \in \alpha_n$ . Entonces, por construcción, $(Y(a,b))_{(a,b) \in \mathbb{Z}^2} \in C(x,y)$ y $\nu_{x,y}$ es su distribución.

La afirmación de que "se ven variables aleatorias independientes a lo largo de la $45°$ diagonal" viene del hecho de que, en cualquier $45°$ diagonal, todas las celdas pertenecen a diferentes clases de equivalencia, por lo que las correspondientes $Y(a,b)$ son independientes.