¿De cuántas maneras distintas a la de color a $4 \times 4$ cuadrícula usando cuatro colores sujetos a tres restricciones

Question

De cuántas maneras puede un $4 \times 4$ cuadrado de la cuadrícula de ser de color utilizando cuatro diferentes colores de manera que no hay color que se repite en cualquier fila, columna, o a lo largo de las dos diagonales principales. Para mayor claridad, una solución válida para este problema se muestra a continuación.

Yo después de soluciones únicas, así:

1. la rotación de la rejilla a través de los ángulos de $90^\circ, 180^\circ$, e $270^\circ$, y
2. reflexiones sobre la horizontal, vertical, y las dos diagonales principales

no son considerados diferentes.

Supongo que este problema quizás es bien conocido, así que me disculpo de antemano, pero no han sido capaces de avanzar hacia su solución. Se puede incluso ir a por un conocido de nombre, lo que es más fácil de identificar y, si este es el caso, yo estaría interesado en saber cómo se llama.

Answer 1

Los requisitos para la colocación de los colores es equivalente a los requisitos para una diagonal de cuadrado latino, o como lo que solía ser llamado, una doble diagonal de cuadrado latino. De acuerdo a OEIS, hay sólo $48$ diagonales de los cuadrados latinos de orden $4$, es decir, de tamaño $4$ x $4$.

Como @Arthur señaló, si rotaciones y reflexiones no se consideran distintas, debemos dividir este número por $8$. Por lo tanto, hay sólo $6$ soluciones distintas.

EDITAR

Acaba de hacer una de fuerza bruta programa para comprobar que estaba en lo cierto, y eso le dio la respuesta $12$, no $6$. Manual de comprobación de la respuesta parece demostrar que el programa es correcto. Aquí está el programa de la respuesta:

Ninguno de estos parecen ser las rotaciones o las reflexiones de cada uno de los otros. ¿Qué se me olvida?

EDIT 2

Como @omegadot puntos, las soluciones anteriores incluyen reflexiones acerca de las diagonales principales. La eliminación de estos casos se da lo siguiente: