Lo que está mal con mi comprobante (teoría de conjuntos)

Question

$f:A\to B$ es dado, $C_1$ $C_2$ son subconjuntos de a $A$. Es cierto que $f(C_1 \cap C_2) = f(C_1) \cap f(C_2)$?

Me puede dar un ejemplo para demostrar lo equivocado: si tomamos $C_1=[-1,0]\,,\, C_2=[0,1]$ , y si $f(x)=x^2$ , entonces, yo sé que $[0,1]≠\{0\}$ por lo tanto la afirmación es incorrecta. Sin embargo, traté de probar y:

De izquierda a derecha:

$$x\in f(C_1 \cap C_2) \Rightarrow f^{-1}(x) \in C_1 \cap C_2 \Rightarrow f^{-1}(x) \in C_1\;\; \text{and}\;\; f^{-1}(x) \in C_2 \Rightarrow $$

$$ x\in f(C_1) \;\;\text{and}\;\; x\in f(C_2) \Rightarrow x\in f(C_1)\cap f(C_2)$$

Por lo tanto, es cierto. Vamos a ver de derecha a izquierda:

$$x∈f(C_1)\cap f(C_2) \Rightarrow x∈f(C1)\;\;\text{ and}\;\; x∈f(C_2) \Rightarrow f^{-1}(x)∈C_1\;\; \text{and}\;\; f^{-1}(x)∈C_2$$

$$ \Rightarrow f^{-1}(x)∈C_1\cap C_2 \Rightarrow x∈f(C_1\cap C_2)$$

Esto parece ser cierto también. Sin embargo no debe de ser. Lo que está mal puede usted ver?

Answer 1

Las dos mitades de su argumento sufren el mismo problema: sus cálculos trabajo sólo si $f$ es uno-a-uno. Tome la segunda a la mitad: de empezar con un arbitrario $x\in f[C_1]\cap f[C_2]$, e inferir que $x\in f[C_1]$$x\in f[C_2]$, lo cual está bien. Pero entonces se habla de $f^{-1}(x)$ como si esto fuera un solo objeto, y no hay ninguna razón para pensar que este es el caso. Usted sabe que hay algo de $y_1\in C_1$ tal que $x=f(y_1)$ y algunos $y_2\in C_2$ tal que $x=f(y_2)$; no sabe, sin embargo, que el $y_1=y_2$, y, de hecho, el ejemplo de muestra, este puede no ser el caso. Por lo tanto, no se puede concluir que hay algo de $y\in C_1\cap C_2$ tal que $x=f(y)$.

Usted cometió el mismo error en la primera mitad de su argumento, aunque en ese caso la inclusión que estaban tratando de demostrar que realmente es cierto. Recuerde, si $f$ no es conocido por ser uno-a-uno, puede ser un gran conjunto de cosas que asignan a $x$$f$. Usted realmente debe hablar de $$f^{-1}[\{x\}]=\{y:f(h)\in\{x\}\}=\{y:f(y)=x\}\;,$$ just as you might talk about $f^{-1}[C_1]=\{y:f(y)\in C_1\}$: en ambos casos, usted está buscando en un conjunto de elementos en el dominio, no en un solo elemento.

Answer 2

Primero de todos, usted no probar un contraejemplo. Que se usa para mostrar que la premisa sostiene, pero la conclusión no.

Usted hizo que, justo antes de intentar demostrar.

Ahora el error que tuve fue en el "de derecha a izquierda". El hecho de que $x\in f(C_1)\cap f(C_2)$ no significa que $f^{-1}(x)\in C_1\cap C_2$. Es posible que $x=f(y_1)=f(y_2)$ donde $y_i\in C_i$.

Por ejemplo, $1\in f([0,1])\cap f([-1,0])$ pero $1=1^2=(-1)^2$.

Answer 3

El problema es que no hay tal cosa como $f^{-1}$. Ha $$x\in f(C_1)\Rightarrow \exists a\in C_1\colon f(a)=x$$ y de manera similar a $$x\in f(C_2)\Rightarrow \exists b\in C_2\colon f(b)=x.$$ Pero los valores garantizados de exis puede ser diferente.

Answer 4

El problema en tu prueba es la suposición de que una función $f^{-1}$ con la propiedad $f^{-1}(x) \in C \Leftrightarrow x \in f(C)$ existe. Esta función sólo existe si $f$ es bijective, y de hecho, para inyectiva $f$ (y, por lo tanto, para inyectiva $f$), la reclamación $f(C_1 \cap C_2) = f(C_1) \cap f(C_2)$ mantiene.