Uniformemente Convergente Larga

Question

Esto es casi seguramente un Arzela-Ascoli pregunta, ya que proviene de una antigua examen de que tales problemas son muy comunes. Por desgracia, me parece que no puede conseguir.

$\{ f_n \}$ es una secuencia de funciones de $[0,1] \to \mathbb{R}$ satisfacción $|f_n'(x)| \leq \frac{1 + |\ln (x)|}{\sqrt{x}}$ $-10 \leq \int_0^1 f_n(x) dx \leq 10$ por cada $n$. La cuestión es mostrar la existencia de un uniformemente convergente larga.

En este tipo de situaciones, los límites dados generalmente se convierten en algo agradable a la fuerza uniforme de acotamiento. Tal vez yo podría aspirar a establecer equicontinuity el uso de la integral de alguna manera, pero no me dijo que el $f_n$ siempre son positivos, por lo que los valores absolutos probablemente tornillo de cosas de todos modos.

Es un problema fácil que me falta o es totalmente el camino equivocado? Si es así, ¿cuál es el camino correcto?

Answer 1

Supongo que el $f_n$ son diferenciables en a$[0,1]$, y son continuamente diferenciables en $(0,1].$

He aquí un dibujo que deberían ayudarle a lo largo (le preguntará si usted tiene preguntas). En primer lugar, la función de

$$x\to \int_0^x \frac{1+|\ln t|}{\sqrt t}\,dt$$

es continuo, por lo tanto uniformemente continua, en $[0,1].$ Así $\epsilon>0,$ tendremos

$$ \int_x^y \frac{1+|\ln t|}{\sqrt t}\, dt < \epsilon$$

si $x,y$ están cerca el uno del otro.

De ello se deduce que, para $x,y$ hemos

$$|f_n(y) - f_n(x)| = |\int_x^y f_n'(t)\,dt| \le \int_x^y |f_n'(t)|\,dt \le \int_x^y \frac{1+|\ln t|}{\sqrt t}\, dt < \epsilon$$

para cada $n.$ Esto muestra el $f_n$ son equicontinuous en $[0,1].$ Por Arzela-Ascoli, tendremos la conclusión deseada si nos muestran el $f_n$ son uniformemente acotada.

Ahora la condición dada en la integrales implica que para cada una de las $n,$ hay $x_n\in [0,1]$ tal que $|f(x_n)|\le 10.$, con Lo que para cada una de las $n$ hemos

$$|f_n(x)| = |f_n(x_n) + \int_{x_n}^x f_n'(t)\,dt\,|\le |f_n(x_n)| + \int_{x_n}^x |f_n'(t)|\,dt$$ $$ \le 10 + \int_{x_n}^x \frac{1+|\ln t|}{\sqrt t}\, dt \le 10 + \int_{0}^1 \frac{1+|\ln t|}{\sqrt t}\, dt <\infty. $$

Esto le da acotamiento uniforme y hemos terminado.