Un problema en el círculo

Question

Considere la posibilidad de un círculo de $C$, de tal manera que $\overline{AB}$ es un acorde. $P$ ser un punto en movimiento sobre la circunferencia del círculo.

(i) ¿Cómo encontrar el punto de $P$ tal que $\overline{PA}\cdot \overline{PB}$ es el máximo?

(ii) ¿Cómo encontrar el punto de $P$ tal que $\overline{PA}+\overline{PB}$ es el máximo?

Answer 1

Notación: desde el círculo es fijo, toma el radio del círculo a $R$ y el ángulo opuesto a $AB$$\alpha$. Tomar ángulos $\angle PAB$ $\angle PBA$ $\beta$ $\gamma$ respectivamente.

Para $(i)$, $PA\times PB=2R\sin \beta\times 2R\sin\gamma$. Desde el círculo es fija, tenemos que maximizar $$\sin \beta\times \sin\gamma$$ or maximise$$\cos(\beta-\gamma)-\cos (\beta+\gamma)$$ or $$\cos (\beta-\gamma)+\cos\alpha$$ Now, $\alfa$ is fixed. So we need to take the max value of $\cos (\beta\gamma)$, which is $1$, and occurs when $\beta=\gamma$, or when $P$ es el punto de intersección de la circunferencia y la mediatriz de la cuerda AB en el segmento importante.

Para $(ii)$,

El uso de la regla del seno, tenemos que maximizar $$2R(\sin\beta+\sin\gamma)$$ or $$(\sin\beta+\sin \gamma)$$ since $R$ is fixed. Now $$(\sin\beta+\sin \gamma)=2(\sin \dfrac{\beta+\gamma}{2})\times(\cos \dfrac{\beta-\gamma}{2})=2\cos \dfrac {\alpha}{2}\times\cos\dfrac {\beta-\gamma}{2}$$ Since $\alfa$ is fixed, in order to maximize the required expression, we take the max value of $\cos \dfrac{\beta\gamma}{2}$, which is $1$,and occurs when $\beta=\gamma$, or when $P$ is the point of intersection of the circle and the perpendicular bisector of the chord $AB$ en el segmento importante.

Answer 2

(i) Sugerencia:

Deje $\alpha$ se fija el ángulo APB. Sea x la variable ángulo de la PBA.

$$\frac{\sin x}{|PA|}=\frac{\sin \alpha}{|AB|}$$

$$\frac{\sin(\alpha+x)}{|PB|}=\frac{\sin \alpha}{|AB|}$$

El problema es entonces maximizar:

$$sinx\cdot sin(\alpha+x)$$

Answer 3

sugerencia:

$S_{ABP}=\dfrac{1}{2}PA*PB \sin{\angle APB}= \dfrac{1}{2}h*AB$

$PA=2R*\sin{B},PB=2R*\sin{A}$

Answer 4

Es una buena idea para alinear a $O$. Entonces uno ve que esta función es la restricción a la esfera del mapa de $\vec{v}\mapsto R^2-\vec{v}\cdot\overrightarrow{OA+OB}+\vec{OA}\cdot\vec{OB}$ donde $R$ es el radio del círculo.

Esta función admite puntos críticos cuando el plano tangente al círculo es ortogonal a $\overrightarrow{OA+OB}$. Si $A$ $B$ no son puntos opuestos, a continuación, sólo hay dos puntos, de lo contrario, la función es constante...