Cuántos círculos hacer 11 puntos de definir?

Question

Me encontré con esta pregunta en mi clase:

Hay 11 diferentes puntos en el plano con 3 puntos están en la misma línea.
a) ¿cuántos círculos hacer estos puntos definen? (Puntos definen un círculo si hay un único círculo a través de esos puntos.)
b) ¿cuántos círculos habría que definir, si 4 puntos estaban en la misma línea?

Creo que sólo tenemos 2 puntos, para definir un círculo (una para el centro y 1 para la radio). En ese caso a) ser $11\times10=110$ diferentes círculos, sin embargo, que parece ser incorrecto.

¿Cómo se podría solucionar?

Answer 1

No tome dos puntos para definir un círculo, porque cualquiera de los dos puntos podría ser el centro. En su lugar, la solución de la parte (a) es, simplemente, $\binom{11}3=165$ debido a que los tres no-alineados los puntos de forma exclusiva definir un círculo (suponiendo que la multiplicidad es de contado, o que no hay cuatro puntos son concyclic; si un cuarteto existido el número de distintos círculos sería menor).

Para la parte (b), $\binom43=4$ círculos degenerado y necesitan ser sustraído, por lo que la respuesta es 161 círculos en este caso (de nuevo, con uno de los supuestos arriba).

Answer 2

Sugerencia: $3$ puntos definen un círculo

$^{11}C_3$ para el caso 1 porque no hay tres en la misma línea

$^{11}C_3-^4C_3$ para el caso 2, para excluir los casos, tomando a tres puntos de los 4 puntos colineales