Residuo campo de grados para los campos de número de

Question

Deje $S$ ser un conjunto finito de números primos y $K/\mathbb{Q}$ un finita de Galois de la extensión de unramified fuera de $S$. Para cada uno de los números primos $p\notin S$, vamos a $n_p$ el número de números primos de $K$ sobre $p$ $f_p$ el grado del residuo de extensión de campo. Un elemental resultado en la teoría algebraica de números, dice,

$n_pf_p=[K:\mathbb{Q}]$.

Con el ajuste, mi pregunta es: para cualquier par de enteros $(n,f)$ tal que $nf=[K:\mathbb{Q}]$, no existe $p\notin S$ tal que $n_p=n$$f_p=f$?

Answer 1

La respuesta es no. Considere la posibilidad de $ K = \mathbf Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) $, y deje $ p $ ser cualquier primer unramified en esta extensión. Vamos a mostrar que el $ p $ no puede ser inerte. Asumir el contrario, y deje $ G $ ser la descomposición grupo de $ p $, que es necesariamente todo el grupo de Galois. Hay, pues, una surjection de $ G $ para el grupo de Galois de los residuos de la clase de extensión de campo. Esta extensión es el cuarto grado de extensión de $ \mathbb F_p $, por lo que su grupo de Galois sobre$ \mathbb F_p $$ C_4 $. Pero entonces, debemos tener una surjection $ G \cong C_2 \times C_2 \to C_4 $. Tal surjection sería un isomorfismo, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no prime de $ \mathbf Z $ es inerte en $ K $, por lo tanto la ecuación de $ n_p f_p = [K : \mathbf Q] $ no tiene ninguna solución para $ f_p = [K : \mathbf Q] $$ n_p = 1 $. Similar contraejemplos son fácilmente construido a partir de la misma idea.