Probablemente fácil, pero estoy atascado atm: Una secuencia converge en norma 1 si y sólo si converge en la norma 2, para todas las secuencias. Son las dos normas necesariamente equivalentes?
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Crostul
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Sí, son equivalentes, ya que inducen la misma topología.
Para ver esto, vamos a $C$ ser cualquier subconjunto. A continuación, $C$ es cerrado si y sólo si para todos convergen las secuencias de $\{ x_n\} \subset C$ si $x_n \to x$$x \in C$. En particular, $C$ es cerrado en la primera topología si y sólo si es cerrado en el otro.
Considere la posibilidad de una secuencia $(x_n)_{n\ge0}$ que converge en $\Vert\cdot\Vert_1$$x$. A continuación, la nueva secuencia $(y_n)_{n\ge0}$ definido por $ y_{2n}=x_n$ $y_{2 n+ 1}= x$ también converge en $\Vert\cdot\Vert_1$$ x$. Por lo tanto, $(y_n)_{n\ge0}$ converge a algún elemento $y$ norma $\Vert\cdot\Vert_2$, por lo que $$\Vert\cdot\Vert_2-\lim_{ n\to\infty}x_{ n}=\Vert\cdot\Vert_2-\lim_{ n\to\infty}y_{2 n}=\Vert\cdot\Vert_2-\lim_{ n\to\infty}y_{2 n+1}=\Vert\cdot\Vert_2-\lim_{ n\to\infty}x=x$$ Por lo tanto, hemos probado que si una secuencia $(x_n)_{n\ge0}$ converge en $\Vert\cdot\Vert_1$$x$, entonces converge también en $\Vert\cdot\Vert_2$ para el mismo $x$.
Intercambiando los papeles de las dos normas, vemos que, por el contrario, si una secuencia $(x_n)_{n\ge0}$ converge en $\Vert\cdot\Vert_2$$x$, entonces converge también en $\Vert\cdot\Vert_1$ para el mismo $x$. Llegamos a la conclusión de que el problema de asignación de $ x\mapsto x$ y su inversa son continuos desde la $(E,\Vert\cdot\Vert_1)$ a $(E,\Vert\cdot\Vert_2)$ que es equivalente a decir que las dos normas son equivalentes.
