¿Es el conjunto $\{x\in \mathbb{R}: \lim_{y\rightarrow x}f(y)$ existe $\}$ ¿se puede medir?

Question

Dejemos que $f$ sea una función medible de Lebesgue en $\mathbb{R}$ . ¿Es el conjunto $\{x\in \mathbb{R}: \lim_{y\rightarrow x}f(y)$ existe $\}$ ¿siempre se puede medir?

Puedo probar si $a\in \mathbb{R}$ se da $\{x\in \mathbb{R}: \lim_{y\rightarrow x}f(y)=a\}$ es medible mostrando el $\epsilon-\delta$ La definición de límite sólo requiere $\frac{1}{n}$ valores( $n\in \mathbb{N}$ ) para $\epsilon$ y $\delta$ y escribir el conjunto como unión/intersección contable de conjuntos medibles. Sin embargo, no creo que podamos hacer lo mismo para $a$ porque tiene incontables posibilidades.

Answer 1

Consideraremos una variante de la oscilación; primero, para $x\in\mathbb R$ y $\delta>0$ , defina $I(x,\delta)=(x-\delta,x)\cup(x,x+\delta)$ y que $$\omega_{\delta}(x)=\sup_{I(x,\delta)}f-\inf_{I(x,\delta)}f.$$ Defina también $$\omega(x)=\limsup_{n\to\infty}\omega_{1/n}(x).$$ Supongamos que $\lim_{y\to x}f(y)=a\in\mathbb R$ para algunos $x$ y que $\varepsilon>0$ . Entonces, existe $N\in\mathbb N$ tal que, si $y\in I(x,1/m)$ , para $m\geq N$ entonces $|f(y)-a|<\varepsilon$ . Esto demuestra que $\omega_{1/m}(x)\leq 2\varepsilon$ para todos $m\geq N$ Por lo tanto $\omega(x)=0$ .

Por el contrario, si $\omega(x)=0$ podemos demostrar que $f$ tiene un límite en $x$ . Por lo tanto, el conjunto de puntos en los que $f$ tiene un límite es igual al conjunto de raíces de $f$ .

Ahora bastará con mostrar que $\omega$ es medible. A partir de su definición, basta con demostrar que $\omega_{1/n}$ es medible para $n\in\mathbb N$ Por lo tanto, basta con demostrar que $$\sup_{I(x,1/n)}f,\,\,\inf_{I(x,1/n)}f$$ son medibles, como funciones de $x$ que es cierto. Por lo tanto, el conjunto de puntos para los que el límite de $f$ existe es medible.