Fredholm operadores

Question

¿Cómo puedo obtener el operador de Volterra a partir de una ecuación del tipo

$$u''(x)+xu'(x)+u(x)=0\text{ ?}$$

Sé que hay una forma general de hacerlo, ¡si pudieras indicarme el libro adecuado te lo agradecería!

Answer 1

Entiendo que quieres reescribir la ecuación diferencial en términos de un operador integral (tipo Volterra). El operador resultante $T$ será de Hilbert-Schmidt, por lo tanto compacto, por lo tanto $I-T$ es de Fredholm.

Introduciendo $v=u'$, obtenemos el sistema de ecuaciones de primer orden $u'=v$, $v'=-u-xv$. Utilizando los valores iniciales $(u_0,v_0)$, reescribimos el problema de valores iniciales como un sistema $$u(t)=u_0+\int_0^t v(s)\,ds, \qquad v(t)=v_0+\int_0^t [-u(s)-xv(s)]\,ds$$ El operador deseado $T$ toma la función vectorial $(u,v)$ y produce $$t\mapsto \left(u_0+\int_0^t v(s)\,ds, v_0+\int_0^t [-u(s)-xv(s)]\,ds\right)$$