Evalúa la siguiente integral impropia con límites.

Question

Necesito ideas para resolver esta integral impropia, se que es dificil y es un bonus para mi curso de analisis, asi que agradeceria mucho su ayuda, gracias

$$\int_{1}^{\infty}\dfrac{x\sin(2x)}{x^2+3}dx$$

Pista: $$\begin{cases} \sin(\theta)\geq \dfrac{2\theta}{\pi},& 0\leq\theta\leq \dfrac{\pi}{2}\\\\\sin(\theta)\geq \dfrac{-2\theta}{\pi}+2,& \dfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq{\pi}\end{cases}$$

Para acotar la integral

$$\int_{0}^{\pi} e^{-2R\sin(\theta)}d\theta$$

No conozco un planteamiento bonito y bello para atacar esto adecuadamente y obtener una respuesta cerrada, así que....

Answer 1

Sugerencia : Utilice $$ \int_1^\infty \frac{x \sin(2x)}{x^2+3} \mathrm{d} x = \Im \int_1^\infty \frac{x \mathrm{e}^{2 i x} }{x^2+3} \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \Im \int_1^\infty \mathrm{e}^{2 i x} \left( \frac{1}{x - i \sqrt{3}} - \frac{1}{x + i \sqrt{3}} \right) \mathrm{d} x $$ A continuación, consulte la definición del integral exponencial .