A menudo sucede que queremos lindan con un "nuevo" elemento $\infty$ a un conjunto $X$, por ejemplo, cuando la construcción de la Alexandroff compactification, o la adición de "infinito" para los números reales o de cualquier conjunto ordenado. Esto no es un problema, porque no hay ningún conjunto que contiene a todos los conjuntos, o porque por el axioma de fundación de podemos tomar cualquier elemento de algún subconjunto no vacío de a $X$ (o $X$ sí debe $X$ sólo contienen el conjunto vacío).
Se hace difícil cuando queremos hacer esto para muchos conjuntos a la vez; por ejemplo, al definir un functor: tenemos que elegir un elemento de cada conjunto, y la elección es de miedo. Me imaginé que podemos tomar $\infty=\{X\}\cup\bigcup X$: si $X$ es un singleton $\{a\}$ $a\neq X$ por la fundación. Si $X$ no es, $\infty$ estrictamente contiene sus elementos.
Entonces empecé a preguntarme si:
Para un conjunto fijo $I$, ¿existe un canónica elección de $I$ elementos distintos (es decir, un inyectiva mapa con el dominio$I$)$X$, para todos los conjuntos de $X$?
Si $I=\{1,\ldots,n\}$ es finito y ordenado que podemos recorrer en la construcción de $\infty$ por encima.
Mi primera idea era tomar algo como $\infty \cup\{i\}$ por cada $i\in I$, pero puede que no seamos capaces de distinguir los al $i=X$ o al $i$ es un elemento de $X$ o de un subconjunto de a $X$. El problema radica en aquellos conjuntos de $X$ que están relacionados con a $I$ a través de sus elementos o sus elementos o .. etc.
