Cómo Calcular Proyectivas de Cierre en General?

Question

Ha habido un par de preguntas acerca de esto en este sitio, pero creo que mi pregunta es diferente porque a) mi pregunta no es sobre Hartshorne 2.9, es justo, inspirado en cuestión, y b) el resto de preguntas no parecen describir cómo ir sobre la búsqueda de la ideal, la verificación de algún trabajo.

La pregunta en Hartshorne es encontrar el ideal de la proyectivas de cierre de la trenzado cúbicos parametrizada por $(t,t^2,t^3)$ más de algún campo $k$, y mostrar que no es lo mismo como projectivizing los generadores de la trenzado cúbicos ideal en el espacio afín.

Todo esto está bien y lo he hecho sólo con un mínimo de dificultades. El problema es que al final, tuve que hacer una especie de acto de fe. Con esto quiero decir, que me escribió el projectivizations, y pude observar que las ecuaciones que yo había escrito no iban a cortar el trenzado cúbicos como yo quería de ella mirando el adecuado afín a la pieza. Yo necesitaba uno más de la ecuación, que yo era capaz de deducir y, a continuación, incluir, y de convencerme de que este era el proyectivas de cierre.

Esto es altamente insatisfactoria, porque al final del día tuve que consultar a mi capacidad para visualizar una variedad, en lugar de sólo hacer el álgebra, y me gustaría ser capaz de hacer esto en general. En Hartshorne, podemos demostrar que $I(\bar{Y}) = \beta(I(Y))$ donde $\beta$ es el projectivization mapa. Esta descripción no es realmente útil, ya que en general este ideal va a tener infinidad de elementos y realmente no es útil para describir un ideal por el listado de sus elementos.

Así, supongamos que estamos trabajando en una más de configuración general, considerando quizá $k[x_1, ..., x_n]/I$ donde $I = (p_1, ..., p_m)$ para algunos polinomios en estas variables. ¿Cómo puedo escribir el ideal para el proyectivas de cierre?

Answer 1

Cox, Poco, y O'Shea dar un buen método de computación proyectiva cierres el uso de las bases de Gröbner en $\S4$ del Capítulo $8$ de los Ideales, de las Variedades, y los Algoritmos.

Teorema 4. Deje $I$ un ideal en $k[x_1, \ldots, x_n]$ y deje $G = \{g_1, \ldots, g_s\}$ ser una base de Gröbner para $I$ con respecto a un gradual monomio orden en $k[x_1, \ldots, x_n]$. A continuación, $G^h = \{g_1^h, \ldots, g_s^h\}$ es una base para $I^h \subseteq k[x_0, x_1, \ldots, x_n]$.

Aquí $f^h$ denota la homogeneización del polinomio $f$$I^h = \langle f^h : f \in I \rangle$. Tenga en cuenta que el monomio de pedido debe ser gradual, es decir, que respete total grado: si $\alpha, \beta$ son multi-índices de con $|\alpha| > |\beta|$,$x^\alpha > x^\beta$.

Vamos a ver cómo funciona esto en el ejemplo de la trenzado cúbicos. Deje $C \subseteq \mathbb{A}^3$ ser afín trenzado cúbicos y $I = \mathbb{I}(C)$ ser su desaparición ideal. La gente suele elegir los generadores $I = \langle y - x^2, z - x^3 \rangle$. Ahora $y-x^2, z - x^3$ formulario de una base de Gröbner para la ordenación lexicográfica $y > z > x$, pero esto no es un graduado de pedidos. Si nosotros en lugar de elegir el gradual lexicográfica de pedidos con $y > z > x$, entonces el algoritmo de Buchberger los rendimientos de la base de Gröbner $y^2 - zx, yx - z, x^2 - y$. Por el teorema anterior, entonces $y^2 - zx, yx - zw, x^2 - yw$ es una base de Gröbner para $I^h$, lo $I^h = \langle y^2 - zx, yx - zw, x^2 - yw \rangle$.