Mi intento:
Dejemos que $a^5=b^4=x^{20}$ y que $c^3=d^2=y^6$ . Por lo tanto, $a=x^4$ y $c=y^2$ . $ \implies 19 = c-a=y^2-x^4=(y-x^2)(y+x^2)$ . Desde $a,\ b,\ c,\ d$ son números enteros, $x,\ y$ también son números enteros $\implies y-x^2$ y $y+x^2$ también son números enteros. Y como $-x^2<x^2$ para todos los enteros $x$ , $y-x^2<y+x^2$ .
Por lo tanto, sólo hay dos casos:
1) $\ y-x^2=1,\ y+x^2=19$ . En este caso, x=3 e y=10.
2) $\ y-x^2=-19,\ y+x^2=-1$ . Este caso no es posible ya que $y+x^2$ es siempre positivo porque $y,\ x$ son ambos positivos.
Así que $b=x^5=3^5=243$ y $d=y^3=1000$ . Por lo tanto, $d-b=1000-243=757$ .
¿Es correcto mi intento de solucionar el problema?
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Con los valores numéricos obtenidos puedes comprobar si tu respuesta es correcta. Creo que lo es.
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Tu solución parece estar bien y parece ser la única solución al sistema de ecuaciones. Por otro lado, sería bueno añadir por qué $x$ y $y$ son enteros, ya que podría no ser obvio. De todos modos se puede demostrar que si $a^n = b^m$ entonces también es un $LCM(m,n)$ -ésima potencia de un número entero.
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Básicamente, si usted ha determinado $d-b$ de una manera que responda a las exigencias de la pregunta, Incluso si las adivinaste, está bien. Nada de lo que se pide en la pregunta exige que demuestres nada respecto a cómo has llegado hasta ahí. Sólo tienes que encontrar un número que responda a las exigencias.