Convergencia de la serie Eisenstein

Question

Consideremos el semiplano complejo $\mathcal H=\{z\in\mathbb C\,:\,\Im(z)>0\}$ , y permite indicar con $\tau$ los elementos de $\mathcal H$ . El libro de Serre "Un curso de aritmética" dice que la serie de funciones $$G_k(\tau)=\!\!\!\sum_{\substack{(m,n)\in\mathbb Z\times\mathbb Z,\\(m,n)\neq(0,0)}}\!\!\!{(m\tau+n)}^{-k}$$ converge normalmente en conjuntos compactos de $\mathcal H$ si $k\ge 3$ . Lo he demostrado:

$$\sum_{\substack{(m,n)\in\mathbb Z\times\mathbb Z,\\(m,n)\neq(0,0)}}\!\!\left|{(m\tau+n)}^{-k}\right|\le \frac{8}{r^k}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{k-1}}\,\,<\infty$$ para todos $\tau\in\mathcal H$ con $r\in\mathbb R$ . Así que $G_k(\tau)$ es (puntualmente) absolutamente convergente en $\mathcal H$ pero no entiendo por qué esta serie es normalmente convergente en conjuntos compactos.

Answer 1

Dejemos que $\rho = \frac{1 + \sqrt{-3}}{2}$ . $\rho\bar\rho = 1$ . $\rho + \bar\rho = 1$ . Por lo tanto, $|m\rho - n|^2 = (m\rho - n)(m\bar\rho - n) = m^2 -mn + n^2$ para $(m, n) \in \mathbb{Z}^2$ .

Dejemos que $D = \{z \in \mathcal{H}; |z| \ge 1, |Re(z)| \le 1/2\}$ .

Dejemos que $z \in D$ . Sea $(m, n) \in \mathbb{Z}^2$ .

$|mz + n|^2 = (mz + n)(m\bar z + n) = m^2z\bar z + 2mnRe(z) + n^2 \ge m^2 -mn + n^2 = |m\rho - n|^2$ Por lo tanto, $|mz + n|^{2k} \ge |m\rho - n|^{2k}$ para $k \ge 1$ .

Por otro lado, $\sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2 - (0,0)} 1/|m\rho - n|^s$ converge para $s > 2$

Por lo tanto, $G_{2k}(z) = \sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2 - (0,0)} 1/|mz + n|^{2k}$ converge normalmente en $D$ para $k > 1$ . Arreglamos $k > 1$

Dejemos que $\sigma \in SL_2(\mathbb{Z})$ . Sea $K$ sea un subconjunto compacto de $\sigma(D)$ . Sea $z \in K$ . Supongamos que $\sigma^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ .

$m\sigma^{-1}(z) + n = m(az + b)/(cz + d) + n = ((ma + nc)z + mb + nd)/(cz + d)$ para $(m,n) \in \mathbb{Z}^2$ .

Por lo tanto, $G_{2k}(\sigma^{-1}(z)) = (cz + d)^{2k} G_{2k}(z)$ .

Por lo tanto, $G_{2k}(z) = (cz + d)^{-2k} G_{2k}(\sigma^{-1}(z))$ .

$Im(\sigma^{-1}(z)) = Im(z)/|cz + d|^2$

Desde $K$ es compacto, existe $M > 0$ tal que $|Im(\sigma^{-1}(z))| \le M$ por cada $z \in K$ .

Desde $K$ es compacto, existe $\delta > 0$ tal que $|Im(z)| \ge \delta$ por cada $z \in K$ .

Por lo tanto, $1/|cz + d|^2 \le \frac{M}{\delta}$ por cada $z \in K$ .

Por lo tanto, $|G_{2k}(z)| \le (\frac{M}{\delta})^k |G_{2k}(\sigma^{-1}(z))|$ por cada $z \in K$ .

Por lo tanto, $G_{2k}(z)$ converge normalmente en $K$ .

Dejemos que $L$ sea un subconjunto compacto de $\mathcal{H}$ . Por el teorema 1 del capítulo VII del libro de Serre "Un curso de aritmética", $L$ puede ser cubierto por un número finito de conjuntos de la forma $\sigma(D)$ , donde $\sigma \in SL_2(\mathbb{Z})$ . Desde $L \cap \sigma(D)$ es compacto, $G_{2k}(z)$ converge normalmente en $L \cap \sigma(D)$ . Por lo tanto, $G_{2k}(z)$ converge normalmente en $L$ .