Ayuda para resolver esta contradicción en las descripciones de los grupos fundamentales de la figura del ocho y n-toro

Question

Estoy enfrentado con un par de declaraciones contradictorias:

1) Este artículo sobre Wolfram MathWorld dice que "$\mathbb{Z}*\mathbb{Z}=\lbrace(n,m)\rbrace$ es un servicio gratuito de abelian grupo de rango 2." (Yo pensaba que esta es la definición de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.)

2) Este artículo también en Wolfram MathWorld dice que el grupo fundamental de la $\pi_1$ de la figura del ocho es "$\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$" y que el primer grupo de homología $H_1$ de la figura del ocho es "$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$", lo que implica que estos dos grupos son diferentes, es decir, no isomorfos. Este artículo establece también la fundamental y primera de la homología de los grupos de la n-torus $\mathbb{T}^n$ "$\mathbb{Z}^n$ " (que yo pensaba que por lo general se refiere a $\mathbb{Z}\times . . . \times\mathbb{Z}$ n veces?).

3) Este artículo también en Wolfram MathWorld unidos de que el grupo fundamental de la figura 8 es el "grupo libre con dos generadores" (es decir, NO es el libre abelian grupo de rango 2).

4) Mi libro de texto, Munkres, establece en su artículo 60 que el grupo fundamental de la figura del ocho no es abelian y que el grupo fundamental de los dos orificios de toro (2-toro o $\mathbb{T}^2$) no es abelian.

5) Esta respuesta en math.stackexchange.com dice que el grupo fundamental de la n-toro es $\langle{a_1}, b_1, ..., a_n, b_n \mid [a_1, b_1]...[a_n, b_n]=0 \rangle$ donde $[a, b]=aba^{-1}b^{-1}$.

6) el artículo 60 de Munkres también afirma que el grupo fundamental de un 1 toro es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, que es lo que yo considero la libre abelian grupo de rango 2 (corríjanme si estoy equivocado). Como una comprobación de validez, he probado si este es isomorfo al grupo en el que los resultados de la instrucción (5) al $n=1$, y se encontró que es.

La mejor manera de resolver esta contradicción parece ser la de decir que la declaración (1) fue un error y debe haber dicho la libre abelian grupo de rango 2 es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, NO $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$. Para resolver la contradicción podría adivinar que $\mathbb{Z}^n$ en la declaración (2) también es un error tipográfico (desde thisusually se refiere a $\mathbb{Z}\times . . . \times\mathbb{Z}$ n veces), y en su lugar debe ser $\langle{a_1}, b_1, ..., a_n, b_n \mid [a_1, b_1]...[a_n, b_n]=0 \rangle$, como en la instrucción 5. La interpretación de las cosas de esta manera, yo también supongo que la notación $\mathbb{Z}* . . . *\mathbb{Z}$ se refiere a la libre grupo con n generadores (¿alguien en menos de comprobar si esto es cierto o no?).

No esta resolución de la contradicción (lo que implica que hay dos flagrantes errores en Wolfram MathWorld artículos) parece correcto? Realmente apreciaría cualquier ayuda a la interpretación de estas declaraciones y la corrección de mi comprensión, así como las correcciones a las cosas que me ha dicho que está equivocado!

Answer 1

En general, MathWorld tiene todo tipo de errores en él, y a diferencia de Wikipedia, que no puede ser corregido por las personas que lo encuentran. Realmente no es una fuente de confianza.

1) Esta notación es altamente no estándar. $\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$ generalmente denota el producto libre de $\mathbb{Z}$ con sí mismo. Este es el grupo libre $F_2$ en dos generadores, y, en particular, es nonabelian.

2) Todo esto es correcto. En particular, el grupo fundamental de la $n$-toro realmente es $\mathbb{Z}^n$.

3) Esto es correcto.

4) Esto es correcto. "Dos orificios toro" no se refiere a $\mathbb{T}^2$, se refiere a la superficie de género dos.

5) Esto se refiere a la superficie de género $n$, no $\mathbb{T}^n$.

6) Esto es correcto.

Así, hay varios obstáculos para usted aquí: no sólo MathWorld confuso notación, sino también la distinción entre el "$n$-toro" y el "$n$-orificios de toro" (personalmente creo que esto es confusa terminología exactamente por esta razón, y por eso yo prefiero usar "superficie de género $n$").

Answer 2

No crean todo lo que leen en Wolfram. Normalmente, $\Bbb Z\ast\Bbb Z$ denota el producto libre (o subproducto en la categoría de grupos) de $\Bbb Z$$\Bbb Z$. Este es el grupo en dos generadores y no es Abelian. El grupo fundamental de la figura-ocho es $\Bbb Z\ast\Bbb Z$ y no es Abelian. Su primer grupo de homología es el Abelianisation de $\Bbb Z\ast\Bbb Z$,$\Bbb Z\times\Bbb Z$.

El grupo fundamental de la $n$toro (que es$(S^1)^n$)$\Bbb Z^n$. Esto no debe confundirse con la superficie orientable de género $n$, (a veces llamado un "$n$-orificios de toro"), cuyo grupo fundamental es no-Abelian para $n\ge 2$ y la que tiene la presentación dada en (5).

En resumen, Wolfram MathWorld tiene errores tipográficos y errores más serios. A diferencia de Wikipedia, los usuarios no pueden corregirlos.