a) Supongamos que $E(x)$ es una función par y que $O(x)$ es una función impar. Supongamos además que $E(x) + O(x) = 0$ . Demuestre que para todo $x$ , $E(x) = 0$ y $O(x) = 0$ .
b) Utilice la parte a) para demostrar que si $A\sin(ax)+B\cos(bx) = 0$ para todos $x$ , donde $A,B,a,b$ son números reales fijos, entonces $B = 0$ y una de $A$ o $a$ también es igual a $0$ .
(a) Tenemos $$E(x)+O(x)=0\tag{$ 1 $}$$ para todos $x$ .
De ello se desprende que $E(-x)+O(-x)=0$ para todos $x$ .
Pero $E(-x)=E(x)$ y $O(-x)=-O(x)$ . Así, $$E(x)-O(x)=0\tag{$ 2 $}$$ para todos $x$ .
Ahora mira las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ y añadir. Obtenemos $2E(x)=0$ para todos $x$ . De ello se desprende que $E(x)=0$ para todos $x$ y, por tanto, de la ecuación $(1)$ , $O(x)=0$ para todos $x$ .
(b) Observe que $\cos$ es una función par y $\sin$ es una función impar. Así, $A\sin(ax)$ es impar y $B\cos(bx)$ está en paz.
De (a) se deduce que si $A\sin(ax)+B\cos(bx)$ es idéntico $0$ entonces $A\sin(ax)$ y $B\cos(bx)$ son cada uno idénticamente $0$ . Poner $x=0$ . Desde $\cos(0)=1$ y $\sin(0)=0$ se deduce que $B=0$ .
Por el hecho de que $A\sin(ax)=0$ para todos $x$ se deduce que, o bien $A=0$ o $\sin(ax)=0$ para todos $x$ . Supongamos que $A\ne 0$ . Demostramos que $a$ debe ser $0$ .
Porque si $a\ne 0$ , dejando entonces que $x=\pi/2a$ encontramos que $\sin(\pi/2)=0$ , lo cual es falso.
Sugerencia $\ $ Poner $\rm\:f(x) = 0\:$ en la siguiente descomposición general en partes pares e Impares
$$\rm\begin{eqnarray} &&\rm\ \ \ \ \ f(x)\, &=&\,\rm e(x) + o(x)\\ &\Rightarrow&\ \ \rm f(-x)\, &=&\,\rm e(x) - o(x)\ \end{eqnarray}\bigg\}\ \Rightarrow \ \ \begin{eqnarray} \rm e(x)\, &=&\,\rm (f(x)+f(-x))/2 \\ \rm o(x)\, &=&\,\rm (f(x)-f(-x))/2 \end{eqnarray}$$
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