"$n$-Yahtzee" pregunta

Question

Supongamos que usted ha $n \geq 1$ estándar de 6 caras de los dados. Si todos los dados muestran el mismo número, a esto le llamamos un $n$-Yahtzee.

Siga este algoritmo:

1. Rollo de todos los dados. Apartar los dados con el modo más alto (por Ejemplo, para 8 dados si me enrolle 1 2 4 4 4 5 6 6, a un lado el 4s). Si dos o más están atadas, elegir uno de ellos. Este número será fijo.
2. Para el resto de los dados, rodar y dejar de lado los dados que coincide con el número del paso 1.
3. Repita el paso 2 hasta que haya obtenido una $n$-Yahtzee.

Pregunta: ¿Cuál es el promedio del número de rollos de papel (dependiendo $n$) que se necesita para alcanzar un $n$-Yahtzee?

Hay muchas variantes de esta pregunta también me gustaría considerar la posibilidad de, a juzgar por el interés recibido en esta pregunta.

Answer 1

Creo que la pregunta se divide en dos partes:

1. Cuántos rollos para hacer un "punto" de 2 o más dados con el mismo número.
2. Cuántos rollos de los dados restantes para lograr que el "punto".

Dado que los rollos de dados son independientes geométricamente distribuidos variables que podemos utilizar:

1. $P(Y)$ es la probabilidad geométrica de la distribución del número de $Y=X−1$ de fracasos antes del primer éxito, apoyado en el conjunto de $\{0,1,2,3,...\}$ en establecer el "punto". El valor esperado de esta es $E_1=\frac{1−p}{p}$, donde p es la probabilidad de establecer el punto (es decir, obtener un par o mejor).

2. $R(Z)$ es la distribución para el resto de los dados ($r$) para converger en el punto. Este el máximo de $r$ i.yo.d. geométricas variables aleatorias con $q=\frac{1}{6}$. La respuesta a la Expectativa de que el máximo de IID geométricas variables aleatorias da un valor esperado de $$ \mathrm E_2=\sum_{k\geqslant0}(1-\mathrm P(Z\leqslant k))=\sum_{k\geqslant0}(1-\mathrm P(Y\leqslant k)^r)=\sum_{k\geqslant0}(1-(1-(1-q)^{k+1})^r). $$

Las respuestas que figuran a continuación se han comprobado en contra de un cálculo empírico de 999,999 resultados mediante un programa de visual basic. Los resultados empíricos que se muestran en cursiva.

$n=1$

Cualquier número va a hacer

$$E_1+E_2=0$$

$n=2$

$$\begin{align}E_1+E_2&=\frac{1-\left(1-\left(\frac{5}{6}\right)\right)}{1-\left(\frac{5}{6}\right)}+\sum_{k\geqslant0}(1-(1-(1-\frac{1}{6})^{k+1})^{2-2})\\ & =\frac{\left(\frac{5}{6}\right)}{\left(\frac{1}{6}\right)}\\ &=5\\ \end{align}$$

5.00 SD 5.48

Estoy seguro de que esta respuesta es correcta, ya que solo se basa en establecer el punto, el término relacionado con los rollos de 0 dados a partido es 0, lo que tiene sentido. Vamos a ver cómo nos va con $n=3$

$$\begin{align}E_1&=\frac{1-\left(1-\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{4}{6}\right)\right)}{1-\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{4}{6}\right)}\\ &=\frac{20}{16}\\ &=1.25 \end{align}$$

1.25 SD 1.68

$$\begin{align}E_2&=\sum_{k\geqslant0}(1-(1-(1-\frac{1}{6})^{k+1})^{3-2})\\ &=\sum_{k\geqslant0}\left(\frac{5}{6}\right)^{k+1}\\ &=\frac{1}{1-\frac{5}{6}}-1\\ &=5\ \end{align}$$

5.63 SD 5.49 - esto es un poco alto, pero sólo por 0.11 SD

$$E_1+E_2=6.25$$

6.88 SD 5.74

De pasar a $n=4$

$$\begin{align}E_1&=\frac{1-\left(1-\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{4}{6}\right)\left(\frac{3}{6}\right)\right)}{1-\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{4}{6}\right)\left(\frac{3}{6}\right)}\\ &=\frac{60}{156}\\ &=0.38 \end{align}$$

0.39 SD .73

Esta va para abajo como se esperaba, con más dados en el juego de pares son más fáciles de conseguir.

$$\begin{align}E_2&=\sum_{k\geqslant0}(1-(1-(1-\frac{1}{6})^{k+1})^{4-2})\\ &=\sum_{k\geqslant0}(1-(1-(\frac{5}{6})^{k+1})^{2})\\ &=\sum_{k\geqslant0}(1-(1-2(\frac{5}{6})^{k+1}+(\frac{5}{6})^{2k+2}))\\ &=2\sum_{k\geqslant0}(\frac{5}{6})^{k+1}-\sum_{k\geqslant0}\left(\left(\frac{5}{6}\right)^2\right)^{k+1}\\ &=2\left(\frac{1}{1-\frac{5}{6}}-1\right)-\left(\frac{1}{1-\frac{25}{36}}-1\right)\\ &=10-\left(\frac{36}{11}-1\right)\\ &=10-\frac{25}{11}\\ &\approx7.73\\ \end{align}$$

8.31 SD 6.14

$$E_1+E_2\approx8.11$$

8.7 SD 6.19

El real Yahtzee a $n=5$

$$\begin{align}E_1&=\frac{1-\left(1-\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{4}{6}\right)\left(\frac{3}{6}\right)\left(\frac{2}{6}\right)\right)}{1-\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{4}{6}\right)\left(\frac{3}{6}\right)\left(\frac{2}{6}\right)}\\ &=\frac{120}{1176}\\ &=0.102 \end{align}$$

0.102 SD 0.336

$$\begin{align}E_2&=\sum_{k\geqslant0}(1-(1-(1-\frac{1}{6})^{k+1})^{5-2})\\ &=\sum_{k\geqslant0}(1-(1-3(\frac{5}{6})^{k+1}+3(\frac{5}{6})^{2(k+1)}-(\frac{5}{6})^{3(k+1)}))\\ &=3\sum_{k\geqslant0}(\frac{5}{6})^{k+1}-3\sum_{k\geqslant0}(\frac{5}{6})^{2(k+1)}+\sum_{k\geqslant0}(\frac{5}{6})^{3(k+1)}\\ &=3\left(\frac{1}{1-\frac{5}{6}}-1\right)-3\left(\frac{1}{1-\frac{25}{36}}-1\right)+\left(\frac{1}{1-\frac{125}{216}}-1\right)\\ &=15-\frac{75}{11}+\frac{125}{91}\\ &\approx9.56\\ \end{align}$$

10.0 SD 6.40

$$E_1+E_2\approx10.1$$

Creo que estas son la respuesta correcta aunque los resultados empíricos son un poco altos para todos ellos (pero dentro de 1 desviación estándar).

El programa que he utilizado para generar es de 9 kb de un archivo que yo iba a publicar si supiera cómo. La hoja de cálculo que genera, sin embargo, es 165MB.

Por su interés, aquí están los resultados de la 5-Yahtzee utilizando 3 ligeramente diferentes algoritmos. El D (para tontos) algoritmo establece el punto en el modo más alto en el primer rollo (es decir, que coincidirá con la de morir), el algoritmo determina el punto en el primer par o mejor, el S (smart) establece el punto en el primer par o mejor, pero va a cambiar si 3 de una clase en los otros 3 dados.

Los medios de los tres algoritmos son 10.24, 10.16 y 10.10, respectivamente.

Con el 3 rollos de entrar en un juego de Yahtzee tiene un 0.0456 posibilidad de obtener un Yahtzee en cualquier turno. Usted obtener 13 se convierte en un juego así que si usted va para nada más (que probablemente no es una estrategia ganadora), tiene un 0.455 probabilidad de que al menos uno por juego. En una 4 persona juego hay una a 0,911 probabilidad de que al menos uno.