Reflexión interna total infinita

Question

Supongamos que tengo un bloque de algún material transparente, vidrio, por ejemplo, con un determinado índice de refracción. Supongamos que el material transparente se coloca en el aire o en cualquier otro medio transparente con un índice de refracción menor (índice menor porque queremos tener reflexión interna total, véase el segundo párrafo).

Dirijo un rayo de luz hacia el bloque con cierto ángulo. Dependiendo del ángulo, puede haber una o varias reflexiones internas totales.

Pregunta

Mi pregunta es, ¿es posible tener una forma de bloque bien definida con un índice de refracción bien definido, y tener un ángulo especial en el que si enviamos un rayo de luz al bloque, el rayo de luz sufrirá reflexiones internas totales para siempre dentro del bloque? (golpeando los límites para siempre en ángulos mayores que el ángulo crítico; no sólo muchas veces, sino infinitamente).

Enfoques

Por supuesto, hay soluciones triviales, como un prisma rectangular de longitud infinita (como un alambre infinitamente largo)... Pero busco casos más bonitos e interesantes, como bloques de volumen finito. Quizá sea más sencillo empezar pensando en polígonos 2D. Tal vez una combinación de límites planos y curvos en un objeto 2D o 3D también podría funcionar.

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Quiero considerar esta cuestión sólo sobre una base teórica, casi matemática. (Sin atenuación, sin dispersión, etc.)

¿Ideas?

Answer 1

Un físico de la respuesta a esto es que la segunda ley de la termodinámica prohíbe este tipo de construcción. Usted está describiendo un cuerpo negro perfecto y el indefinido entrada de la luz en la forma de proponer inevitablemente calor cualquier finito de la cavidad con las propiedades que usted propone. Si la entrada de la luz viene a través de una perfecta guía de onda de un cuerpo negro a algunos de temperatura $T$, entonces la segunda ley prohíbe el dispositivo de ascenso a una temperatura superior a la de la fuente. Así que algo de luz se para, finalmente, dejar el dispositivo.

Sin embargo, lo de la captura de un pulso corto de luz (donde el efecto de calentamiento no sería un problema)?

Hay artificial soluciones matemáticas a problemas similares. Para un 2D ejemplo, considere un perfecto espejo circular con una infinitamente delgada hendidura en ella por un rayo que pasa a través de (aquí se huelga de la otra dificultad de la aplicación de la óptica de rayos x para este problema: la verdadera luz no puede pasar a través de un infinitamente delgada rendija y, de hecho, difracta fuertemente en el lado más lejano si (1) de la rendija es mucho menor que una longitud de onda ancho y (2) el espesor de la pared es lo suficientemente delgado como para la transmisión a través de la rendija. Así que ya debemos empezar a considerar completa la teoría EM en lugar de rayos. Pero vamos a los rayos solución para la integridad:

Theangle $\Delta\theta$ entre las posiciones angulares de los sucesivos rebotes es constante. Este ángulo es una función continua del ángulo de incidencia, y es igual a $\pi$ cuando el ángulo de incidencia es cero. Claramente todos los valores de $\Delta \theta$ en algunos vecindario $(\pi-\epsilon,\,\pi+\epsilon)$ de vanidad son accesibles mediante el ajuste del ángulo de incidencia. Así que elegir un $\Delta\theta$ que es un irracional múltiples de $2\pi$. El rayo golpea la rendija de nuevo (y por lo tanto escapa a) después de $n$ circulaciones, donde $n\,\Delta\theta=2\,\pi,\,m$, para los números enteros $n$$m$. Pero esto es imposible si $\Delta\theta$ es un irracional múltiples de $2\,\pi$, de donde el dispositivo de "las golondrinas" un rayo de forma permanente.

Mirad cómo infinita precisión que se necesita para este argumento: un valor distinto de cero de la anchura de la rendija, en este dispositivo siempre conducen a un eventual escape. Para entender que debe ser un eventual escape de los rayos en este caso, se $\Delta\theta$ es un racional múltiples de $2\,\pi$, en cuyo caso se golpea la rendija precisamente después de algún número finito de rebota, o es un irracional múltiples de $2\,\pi$. Si el último caso, se puede demostrar que el conjunto de puntos de intersección donde el rayo rebota en el espejo es denso en el círculo, por lo tanto, cualquier valor distinto de cero intervalo angular (y por lo tanto distinto de cero de la anchura de la rendija) contiene al menos una de estas intersecciones, por lo que el rayo se escapa en este caso también.

Nos puede hacer más realista ray solución a prueba de escape. Una franja horizontal de los rayos de luz serán atrapados por un Cassegrain como la estructura con dos arcos de parábolas con enfoque común y vertical directrices va a hacer es:

Ver este MathOverflow Hilo "Simétrica Agujero Negro Curvas" para obtener más información. Pero esta solución también tiene la captura de la llegada de ray debe ser perfectamente horizontal para atrapar a suceder. Desde la difracción es aproximadamente equivalente a un valor distinto de cero angular de la propagación de los rayos, esto significa que la verdadera luz, finalmente, escapar de una estructura de este tipo.

Answer 2

Un argumento en contra de todos los pesimistas :-) .

Primero de todo, la onda evanescente no tiene nada que ver con la luz se escape. Por ejemplo, fibra óptica monomodo son a menudo diseñados de tal forma que existe una importante onda evanescente, pero ya que no hay alto índice de material fuera del núcleo, la energía no se escapa (aparte de quantum probabilística de largo alcance de túnel).

Siguiente, y este es el unobtanium parte, supongamos que disparar una partícula y su antipartícula en un, digamos, de planta octogonal prisma recto, de tal manera que los fotones generados cuando se destruct son emitidos en el plano prisma y en un ángulo igual al ángulo de la cara, que también es menor que el ángulo crítico para el prisma de material. Los fotones de rebote de cara a cara para siempre.

Answer 3

En el lenguaje de la óptica ondulatoria, creo que tu pregunta se reduce a la siguiente:

Dado que la disipación es insignificante, puede un medio dieléctrico de tamaño finito soporte de un modo que se propaga sólo en el mediano y evanescente en el exterior?

La respuesta a esta pregunta es, ciertamente, "No."

Independientemente de la forma del campo eléctrico en el interior del medio, deben ser los adecuados para el campo fuera del medio de la satisfacción de la onda transversal ecuación: \begin{equation} \nabla\times(\nabla\times\textbf{E}) + \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\textbf{E}}{\partial t^{2}} = 0. \end{equation} Para la propagación en modo de sólo dentro de un finita de tamaño mediano, el campo exterior debe ser evanescente en tres dimensiones. Pero la ecuación anterior no tiene solución con tal propiedad. Por lo tanto, de cualquier modo que parece ser localizada, debería ser adaptado a una propagación de solución fuera de la media, haciendo que el modo de fugas.