Esto es en relación a la $p$-ádico de valoración en el campo de fracciones de $F$ de un integrante del dominio $D$. La idea es que para cada una de las $x \in F$ hay una única máxima $k$ tal que $x = p^k u v^{-1}$ donde $u, v^{-1}$ $D$ y no son divisibles por $p$. A continuación definimos la valoración $\nu _{\ p}$$\nu _{\ p}(p^k u v^{-1}) = k$.
Mi pregunta es ¿por qué es esto $k$ bien definida? Ingenuamente podríamos tomar a $x = (a,b)$ y comienzan a dividirse $a$ $p$ hasta que no podemos más, hacer lo mismo para $b$ conseguir $a = p^\alpha a' , b = p^\beta b' \implies (a,b) = (p^{\alpha - \beta} a' , b)$ y tome $\alpha - \beta$ como nuestra respuesta. Pero, ¿por qué $\alpha, \beta$ necesitan ser finito? Por qué no puede haber algo de $x$ tal que para cualquier $k$ hay $a_k$ tal que $a = p^k a_k$? Si el Anillo se Noetherian puedo ver por qué esto es imposible, pero no para general integral de los dominios.
