¿Explicación de "Colección infinita de intervalos"?

Question

Mientras hacía un curso, una pregunta me dice lo siguiente:

Dada una colección infinita $A_n$ , $n=1,2,\dots$ de intervalos de la recta real, su intersección se define como $\bigcap^_{n=1}A_n=\{x\mid(\forall n)(x\in A_n)\}$ .

¿Qué significa esto?

Es $A_n$ la colección de $(1,2),(2,3),(3,4),\dots$ ?

¿O es $[1,2],[2,3],[3,4],\dots$ ?

¿O es algo totalmente distinto?

Puede que sea una pregunta muy tonta, pero a mí me enseñaron el análisis real en una clase de media hora, así que mis conocimientos son muy escasos.

Por favor, ayuda.

Answer 1

He aquí una situación que quizá le resulte más familiar. A veces, en cálculo, te encuentras con una pregunta que empieza así:

Dada una secuencia infinita $x_n$ , $n=1,2,...$ de números reales,...

Cuando veas esto, sabrás que $x_1$ puede ser un número real arbitrario, y $x_2$ puede ser un número real arbitrario, y lo mismo para $x_3$ , $x_4$ y para cualquier otro número de esta secuencia. Este tipo de pregunta le dirá alguna información sobre un arbitrario secuencia de números reales. Por ejemplo, así es como se empezaría la definición del límite de la sucesión. O bien, así es como se empezaría el teorema de que el límite de una suma de dos secuencias (esta secuencia $x_n$ y otra secuencia $y_n$ ) es igual a la suma de los límites. O algo más, quién sabe.

Supongamos que se encuentra con una pregunta que empieza así:

Dada una colección infinita $A_n$ , $n=1,2,...$ de intervalos en la línea real...

Cuando veas esto, sabrás que $A_1$ puede ser un intervalo arbitrario en la recta real, y $A_2$ puede ser un intervalo arbitrario en la recta real, y lo mismo para $A_3$ , $A_4$ y para cualquier otro intervalo de esta colección. Este tipo de pregunta le estará diciendo algo sobre un arbitrario colección de intervalos en la línea real. Así, por ejemplo, tu pregunta te da la definición de la intersección de una colección arbitraria de intervalos en la recta real.

Answer 2

Cada $A_n$ es algún intervalo. Por ejemplo, puede tener $A_1=[0,2)$ , $A_2=\left(-3,\frac12\right)$ y así sucesivamente.

Answer 3

Imagina la siguiente situación, al principio:

Dada una finito colección de intervalos, $A_1,A_2,\dots,A_k$ definimos que la intersección de estos intervalos es: $$\bigcap_{i=1}^kA_i:=\{x\in\mathbb{R}|x\in A_i\text{ for each }i=1,2,\dots,k\}.$$

Por lo tanto, se le dan algunos intervalos, sean los que sean. Por ejemplo, te pueden dar: $$\begin{align*} A_1&=[0,3)\\ A_2&=(-1,5)\\ A_3&=(0,7)\\ A_4&=[1,5]\\ \end{align*}$$ Entonces, su intersección es: $$\bigcap_{i=1}^4A_i=(0,3),$$ que resulta ser un intervalo abierto. Se le puede dar: $$\begin{align*} A_1&=[0,3)\\ A_2&=(-1,1)\\ A_4&=[1,5]\\ \end{align*}$$ Entonces, su intersección es: $$\bigcap_{i=1}^4A_i=\varnothing,$$ que es el conjunto vacío.

Ahora, en general, la noción de colección significa que elegimos algunos objetos de algún tipo, o con alguna(s) propiedad(es) específica(s). En nuestro caso, hemos elegido una colección finita de algunos objetos llamados intervalos, por lo que tenemos en nuestras manos algunos conjuntos de números (5 o 6 o 2.054; de todos modos son finitos), algunas partes de la recta real.

Para abordar tu pregunta, exactamente, cuando se habla de familias infinitas, lo único que cambia es la "cantidad" que tenemos en nuestras manos. Una familia infinita contiene infinitos objetos de ese determinado tipo. Por ejemplo, en el caso de la intersección infinita, tenemos que:

Dado un infinito colección de intervalos, $A_1,A_2,\dots$ definimos que la intersección de estos intervalos es: $$\bigcap_{i=1}^\infty A_i:=\{x\in\mathbb{R}|x\in A_i\text{ for each }i=1,2,\dots\}.$$

Así, se puede dar la siguiente colección infinita de intervalos: $$\begin{align*} A_1&=\left[0,1\right)\\ A_2&=\left[0,\frac{1}{2}\right)\\ A_3&=\left[0,\frac{1}{3}\right)\\ \vdots&=\vdots\\ A_k&=\left[0,\frac{1}{k}\right)\\ \vdots&=\vdots \end{align*}$$ En este caso se puede describir esta colección de intervalos de una manera agradable, ya que hay algún tipo de "normalidad". Además, su intersección es: $$\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\{0\}.$$ Pero, una colección de intervalos puede ser muy "aleatoria". Por ejemplo, elija dos números reales, los que quiera, y deje que $a_1,b_1$ con $a_1<b_1$ y que $A_1=(a_1,b_1)$ . A continuación, de nuevo, elija dos números reales al azar, sea $a_2,b_2$ y que $A_2=(a_2,b_2)$ . Luego otra vez, luego otra vez, luego otra vez,... infinitas veces (se pueden elegir infinitos números; es como elegir dos secuencias $a_n,b_n$ con $a_n<b_n$ para cada $n\in\mathbb{N}$ ).

También puede encontrarse con algo como lo siguiente: Deja que $A_1,A_2,\dots$ sea una colección infinita de todos los intervalos con sus límites son números racionales .

Como ves, podemos crear un colección infinita de ejemplos de este tipo... (con humor).

Answer 4

No te obsesiones con la palabra "intervalo". Se trata de una propiedad general, y funciona para cualquier conjunto de conjuntos, ya sea un conjunto de intervalos o no. Más concretamente, dado cualquier conjunto $A$ que contiene otros conjuntos, entonces

$$\bigcap A = \{x \mid \forall a \in A, \ x\in a \} $$

La intersección es el conjunto que contiene precisamente los elementos que están en todos los conjuntos $a\in A $