Donde puedo encontrar la prueba de que $l_\infty^*$ es weeak$^*$-separables?
Quiero volver a examinar la prueba de ese hecho.
Respuesta
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No estoy del todo seguro de lo que estás preguntando. Supongo que estás preguntando por qué $l_{\infty}^{\ast}$ es débil$^{\ast}$-separables. Para ver esto, observe que $l_1$ es denso en los débiles$^{\ast}$-topología de $l_{\infty}^{\ast}$ (por Goldstine del teorema). Obviamente, $l_1$ contiene una contables norma-denso subconjunto $S$, que es también débil$^{\ast}$-denso debido a la norma de cierre es siempre menor que el débil$^\ast$-cierre. Vas a encontrar una prueba de la (tautológica) Golstine teorema en la página de la Wikipedia he ligado.
Añadido posterior: por supuesto, esto no significa en modo alguno que $l_{\infty}^{\ast}$ es segundo contable en la debilidad de los$^{\ast}$-topología. De hecho, para un infinito-dimensional espacio de Banach los débiles$^{\ast}$-topología no es el primer contables (incluso si su restricción a la unidad de la bola es metrizable para los duales de los espacios de Banach separables).
Añadido posterior: lo único utilizado en el argumento anterior es, por supuesto, la divisibilidad de las $l_1$. Pie de la letra el mismo argumento muestra
El bidual de Banach separable espacio es débil$^{\ast}$-separables.
Sin embargo, no sé si de lo contrario se mantiene.
