Diferenciar una función racional

Question

Estoy teniendo problemas para resolver un problema. Supongo que para encontrar la pendiente de: $$f(x)= \frac{x}{x-2}$$ at the given point $(3,3)$.

Llegué $1/(1) = 1$ (la pendiente) Pero mi answerbook dice que es $-2$. Puede alguien explicar lo que estoy haciendo mal?

Answer 1

Método uno: $$f(x) = \frac{1}{h(x)} \ \to \ f'(x) = -\frac{h'(x)}{h^2(x)}$$ $$f(x) = \frac{x}{x-2} = \frac{x - 2 + 2}{x-2} = 1 + \frac{2}{x-2}$$ $$f'(x) = 0 - 2(x-2)^{-2}$$ $$f'(3) = -2$$ Método dos: $$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \ \to \ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - h'(x)g(x)}{h^2(x)}$$ $$f'(x) = \frac{1\cdot(x-2) - 1\cdot x}{(x-2)^2}$$ $$f'(3) = \frac{-2}{1^2} = -2$$

Editar:

Creo que la clave aquí es entender que si: $$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $$ Then $f'(x)$ no essimplemente: $$f'(x) = \frac{g'(x)}{h'(x)}$$