Podría alguien explicar cómo invertir $$ z = y e^{-y} = e^{-1} - \frac{1}{2}(y - 1)^2 + \frac{1}{3e}(y - 1)^3 - \frac{1}{8}(y - 1)^4 + \cdots $$ alrededor de $y=1, z=e^{-1}$, por lo que el $y$ se expresa como una serie de $(1 - ez)$ ? Esta es una parte de ejemplo VI.8 en la "Analítica de la combinatoria" por Flajolet y Sedgewick. Se omite los detalles del proceso de inversión. En realidad, yo no estoy tan familiarizado con la manipulación de la serie de expansiones. Si alguien pudiera dar algunos detalles del método, te agradeceria mucho.
Respuesta
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Bien, esto es como el Lagrange inversión teorema (véase también Wikipedia) para la ecuación de $z=f(y)$, pero con $f'(y_0)$ fuga. Calcular la expansión de $y$ por escrito la forma general de su poder de serie con desconocidos coeficientes: $$ y = 1 + \alpha (1-ez)^{1/2} + \beta(1-ez) + O((1-ez)^{3/2}). $$ Entonces usted sustituto: $$z = \frac{1}{e} - \frac1{2e}\left(\alpha (1-ez)^{1/2} + \beta(1-ez) + \cdots\right)^2 + \frac1{3e}\left(\alpha(1-ez)^{1/2}+\cdots\right)^{3/2} + \cdots, $$ e igualamos los coeficientes a la izquierda y a la derecha: $$ \frac1e-\frac{1-ez}{e} = \frac1e - \frac{\alpha^2}{2e}(1-ez) + \left(-\frac{\alpha\beta}{e} + \frac{\alpha^3}{3e}\right)(1-ez)^{3/2} + \cdots. $$ Problemas da $$ \alpha = \sqrt2, \qquad \beta = \frac23, $$ así $$ y = 1 + \sqrt{2} (1-ez)^{1/2} + \frac23(1-ez) + O((1-ez)^{3/2}). $$
Usted puede encontrar más términos haciendo lo mismo con más potencia de la serie. No sé si hay una forma cerrada para la serie de coeficientes.
