Cuando el cierre de un conjunto convexo que contiene una bola

Question

Supongamos $C$ es un conjunto convexo en $\mathbb{R}^n$ cuyo cierre contiene la bola de $B(x,r)$. Es cierto que $C$ contiene $B(x,r)$?

Motivación: estoy pidiendo esto porque algo como esto parece que se asume de forma implícita en la prueba de la separación de hyperplane teorema estoy trabajando a través de (o podría simplemente ser por lo general confundido). Así, si no es una simple y directa argumento de que sería bueno.

Answer 1

Esto es indudablemente cierto. Me voy a dar una prueba en $\mathbb{R}^3$.

Deje $a \in B(x,r)$. Luego tenemos a $B(a,r_1) \subseteq \overline{C}$ para algunos pequeños $r_1$. Ahora vamos a $b_1 b_2 b_3 b_4$ ser algunos tetraedro en $B(a,r_1)$ que contiene $a$ en su interior. Para $i = 1, 2, 3, 4$, vamos a $x_{i,n} \in C$ ser una secuencia de puntos que tiende a la $b_i$. Por lo suficientemente grande como $n$, el punto de $a$ debe ser en el interior de $x_{1,n}x_{2,n}x_{3,n}x_{4,n}$.