Límite de $\prod_{i=1}^n (1-1/2^i)$

Question

Estoy tratando de encontrar el límite de la secuencia de $$s_n:=\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1-\frac{1}{2^i} \right)$$

La sucesión es decreciente y acotada abajo por $0$. Supongo que el límite es de $0$, hay alguna manera de mostrar esto ? O, ¿hay algún argumento que muestra que el límite no es cero ?

Answer 1

De hecho, el límite se inicia con $0.2887880950866024212788997219292307800889119\cdots$

Para demostrar que el límite es finito considerar el logaritmo del producto por lo que el término agregado en cada etapa será de orden $2^{-i}$ por lo que la serie claramente convergente.

De forma más general (como se indica por Marvis primera), tenemos (Alfa) : $$\phi(z):=\prod_{i=1}^\infty 1-z^i= (z;z)_{\infty}$$

con $\phi$ la función de Euler.