La matriz que conmuta con la matriz de permutación

Question

Estoy tratando de mostrar que si $A$ viajes con todos los $3\times 3$ permutación de matrices, a continuación, $A$ tiene que ser de la siguiente forma: $A = \begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \\ \end{pmatrix}$ What i've tried so far: Let $$be a general $3 \times 3$-Matrix. We are trying to find$$ such that $AP = PA$. Esta ecuación significa, básicamente, los siguientes: $AP$ es Un permutada con columnas. $PA$ es Una con permutada filas. Esto significa que $A$ ha de ser tal que permuting columnas y filas de la misma manera deja la marix en busca de la misma.

Por ejemplo, para las permutaciones que voltear $1$$2$:

$\begin{pmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} b & a & c \\ e & d & f \\ h & g & i \\ \end{pmatrix}$. If we do the same for flipping $2$ and $3$ and flipping $1$ and $3$ we get three matrix equations for the 9 entries $un$ to $i$ Resultando en las siguientes ecuaciones: $a = i, b = h, g = c, f = d , b = d, a = e, c = f, h = g, b = c, f = h, i = e, g = d$, lo que significa : $a= e = i$ $b=c=d=g=h$ que es exactamente lo que estaba buscando.

La cosa ahora es. Si miro las permutaciones que no sólo intercambiar dos filas/columnas (por ejemplo,$(123) \implies (312)$ ) recibo de ecuaciones que contradecir a mi ecuaciones anteriores.

¿Qué estoy haciendo mal? Es la proposición verdad incluso para decir comprobable?

Gracias de antemano!

Answer 1

Le sugiero que revise su cálculo que le da contradictorias ecuaciones. En particular, si $P$ es la permutación de la matriz:

$$P=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$$ a continuación, se actúa sobre el derecho mediante la aplicación de $[3,1,2]$ a las columnas, y en la izquierda por la aplicación de $[2,3,1]$ a las filas, por lo que no aplica la misma permutación de las filas y columnas y compare las respuestas.

Es suficiente considerar sólo la permutación de matrices que intercambiar dos filas/columnas, como el general de permutación de matrices son sólo el producto de estos (este es el resultado "el grupo simétrico es generado por transposiciones"). Así, por ejemplo, la permutación $1\mapsto 3$, $2\mapsto1$, $3\mapsto 2$ es sólo que la dada por el intercambio de la primera y segunda fila/columna y, a continuación, intercambiar la segunda y la tercera. Como su $A$ viajes con ambos de estos "permutación de matrices", se deben de viajar con su producto.

Answer 2

Aquí está el problema:

$$P[3,1,2]=P[2,1,3]P[3,2,1]$$

$$P[3,1,2]A=AP[3,1,2]$$

$$P[2,1,3]P[3,2,1]A=AP[2,1,3]P[3,2,1]$$

Cuando premultiply que estás haciendo $[3,2,1]$ y, a continuación,$[2,1,3]$. Cuando usted publica multiplicar estás haciendo $[2,1,3]$ y, a continuación,$[3,2,1]$, por lo que sus cálculos sólo se mantiene por una matriz de permutación que no puede ser escrito como el producto de dos matrices de permutación.

Answer 3

La matriz de identidad conmuta con todas las matrices de permutación y lo mismo es cierto para una matriz cuyas entradas son todas iguales. Desde su condición es lineal en $A$ (si $A$ $B$ permutar con todos los $P$ $A+B$ también desplazamientos), cualquier combinación lineal de esas matrices se conmuta con permutación de matrices.

Esto muestra que tu matrices que conmutan con la permutación de matrices y el cálculo mediante la transposición muestra a la inversa.