La serie involucra función de error

Question

En un problema de probabilidad, obtuve la siguiente sumatoria

$$ \sum_{n=0}^\infty [ \mathrm{fer} \ (1+n)k - \mathrm{fer} \ nk ]^2 $$

pero no tengo idea de cómo sumar. He observado (a través del cálculo numérico a) que la suma es directamente proporcional a $k$, en el último de $k\sim 10^{-3}$.

Para un gran $n$ el valor de las funciones de error está muy cerca de a $1$. A continuación, el más importante de los términos de la suma son los de pequeño $n$. Entonces, pensé, el término correspondiente a $n=0$ daría una aproximación razonable a la suma. Si $k$ es pequeña, el plazo para $n=0$ es de aproximadamente $k^2$, lo cual es un comportamiento completamente diferente de la observada. He comprobado los términos de la suma y muchos de ellos son importantes, por lo tanto no podemos obtener el comportamiento de la suma sólo a partir de la mayor plazo.

¿Cómo puedo obtener al menos el comportamiento de la suma con $k$, o cómo obtener un valor aproximado de la suma?

Answer 1

Me di cuenta de una manera de calcular asymptoticly la suma de las pequeñas y grandes $k$. En el límite de $k\to 0$ hemos $$ \lim_{k\to 0} S(k) = \lim_{k\to 0} k\sum_{n=0}^\infty \frac{[\mathrm{fer}(kn+k)-\mathrm{fer}(kn)]^2}{k^2} k = \ k \int_0^\infty \left[\frac{d}{dx} \mathrm{fer} \ x \right)^2 \ dx, $$ en que $x=kn$. La evaluación de la expresión entre llaves conduce a $$ \frac{4k}{\pi} \int_0^\infty \exp (-2 x^2) \ dx, $$ por lo tanto, $$ \lim_{k\to 0} S(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} k $$

Por otro lado, en el límite de $k\to \infty$, todos los términos son insignificantes, ya que será aproximadamente de $1-1$, excepto en la primera, que será $$ \mathrm{fer}(k)-\mathrm{fer}(0) = 1, $$ a continuación, $$ \lim_{k\to \infty} S(k) = 1. $$ El siguiente gráfico compara la solución numérica (línea continua) y de las expresiones asintóticas (líneas discontinuas).

Answer 2

Esta no es una respuesta, ya que sólo se basa en la simulación numérica.

Si calculamos $$S(k)=\sum_{n=0}^\infty \left(\text{erf}( (n+1)k)-\text{erf}( nk)\right)^2$$ what can be noticed is that the result is almost linear for the range $0 \leq k \leq 1$ como se muestra a continuación $$\left( \begin{array}{cc} k & S(k) \\ 0.0 & 0.000000 \\ 0.1 & 0.079722 \\ 0.2 & 0.159047 \\ 0.3 & 0.237586 \\ 0.4 & 0.314966 \\ 0.5 & 0.390834 \\ 0.6 & 0.464869 \\ 0.7 & 0.536766 \\ 0.8 & 0.606113 \\ 0.9 & 0.672113 \\ 1.0 & 0.733460 \end{array} \right)$$ For $k >2$, $0.99 < S(k) <1$.