Cómo probar que el siguiente proceso de iteración converge?

Question

Tengo el siguiente proceso de iteración: $$ p_{n+1} = \frac{{p_{n}}^3 + 3 a p_{n} }{3 {p_{n}}^2 + a } , $$ where $a > 0$.

Q1: ¿Cómo demostrar que este proceso de iteración converge para cada número $p_0 > p > 0 $ para el punto fijo,$p = g(p), p > 0$ ?

Q2: ¿Cómo demostrar que este proceso de iteración converge para cada número $p > p_0 > 0$ para el punto fijo,$p = g(p) , p > 0 $ ?

Tal vez el siguiente teorema ayuda: Vamos a $f \in C^2 [a,b]$ tal que $f(p) = 0$$f'(p) \neq 0 $. Luego hay un $\delta > 0 $ de manera tal que el método de Newton genera una secuencia $ \{ p_n \} $, que converge a $p$ por cada $p_0 \in [p - \delta , p + \delta]$.

En mi caso, $f(x) = x^2 - a$.

Supongo que este teorema probablemente podría ayudar (especialmente para Q2), pero no veo cómo puedo aplicarlo.

Answer 1

Considere la posibilidad de $p_{n+1} - p_n = \frac{-2p_n^3 + 2ap_n}{3p_n^2 + a}$. Tenemos $$p_{n+1} - p_n =\begin{cases}\le 0, & \text{if } p_n \ge \sqrt{a}\\ = 0, & \text{if } p_n = \sqrt{a} \\ \ge 0, & \text{if } p_n \le \sqrt{a}\end{cases}$$ Por otra parte, vamos a $f(x) = \frac{x^3 + 3ax}{3x^2 + a}$. A continuación, $$f'(x) = \frac{(3x^2+3a)(3x^2 + a)-6x(x^3+3ax)}{(3x^2+a)^2}=\frac{3x^4-6ax^2+3a^2}{(3x^2+a)^2}=\frac{3(x^2-a)^2}{(3x^2+a)^2} \ge 0.$$ Por lo tanto se deduce que el $f$ es cada vez mayor. En particular $$p_{n+1} = f(p_n) \le f(\sqrt{a}) = \sqrt{a} \Leftrightarrow p_n \le \sqrt{a}.$$

El comportamiento de la secuencia es ahora clara: $p_n$ aumenta sin pasarse $\sqrt{a}$ si $p_0 \le \sqrt{a}$ y disminuye si $p_0 \ge \sqrt{a}$, de nuevo sin pasarse $\sqrt{a}$. Así como una limitada monótona secuencia $p_n$ tiene un límite, que tiene que ser $\sqrt{a}$ tomando límites en ambos lados de la definición de la ecuación de $p_{n+1}$.