El Google calculadora dice que $\left(\frac00\right)^0=1$. ¿Es esto cierto?

Question

Según Google, $\left(\frac00\right)^0=1$. ¿Es esto cierto? Por qué o por qué no?

Answer 1

Esto ciertamente no es literalmente cierto: $\frac{0}{0}$ es indefinido, y, por tanto, $\left(\frac{0}{0}\right)^0$ también es indefinido.

Usted podría preguntar si $\left(\frac{0}{0}\right)^0=1$ que es verdad en la limitación sentido de que $\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\left(\frac{x}{y}\right)^z=1$. Sin embargo, esto también es falso. Por ejemplo, vamos a $x=t^2$, $y=t$, y $z=1/\log t$$t\in(0,1)$. Como $t\to 0$, $x$, $y$, y $z$ cada uno vaya a $0$. Pero $$\left(\frac{x}{y}\right)^z=t^{1/\log t}=e$$ for all $t$, so the limit as $t\a 0$ is $e$. Since you can find other parametrizations along which $(x,y,z)\a (0,0,0)$ for which the limit of $\left(\frac{x}{y}\right)^z$ is something else (for instance, if $x=y=z=t$, $\left(\frac{x}{y}\right)^z=1^t=1$ for all $t$), it follows that the limit $\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\left(\frac{x}{y}\right)^z$ no existe.

(Estrictamente hablando, cuando escribimos $\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\left(\frac{x}{y}\right)^z$, deberíamos estar tomando el límite en el dominio donde se $\frac{x}{y}>0$, ya que de lo contrario $\left(\frac{x}{y}\right)^z$ sí puede ser indefinido.)

Answer 2

No. En virtud de la costumbre de los convenios, esta expresión es "mal escrito". Usted no escribe $0/0$.

Por otro lado, en virtud de los convenios que describo aquí, tenemos $$\left(\frac{0}{0}\right)^0 = (\mathbb{R})^0 = 1$$

Así que "sí", si desea definir las cosas de esa manera.

Tal vez esta es la evidencia de que mi gemelo malvado está trabajando para Google. Voy a encontrar el tiempo de Darkgoblin.

Answer 3

Depende de si usted está adoptando un computacional frente a un simbólico-perspectiva analítica.

Desde una perspectiva computacional, los paréntesis indican que el cálculo de números dentro de los paréntesis es para ser completado. Sin embargo, la división por cero no está definida para operaciones con números enteros o de punto flotante se dividen, se obtiene un resultado NaN (no un número) y este resultado no puede avanzar en la exponenciación, así computacionalmente, la expresión no es computable en un resultado aprovechable. Y, desde cuestiones de T vs F son predicados en la computación, y no has especificado tu pregunta en el formulario de una computable predicado, la pregunta que usted ha pedido no puede ser contestada de forma computacional.

A partir de un simbólico-analíticos perspectiva, el uso de límites podría probar que x/x es un resultado estable igual a 1.0 a medida que x se aproxima a 0. Usted podría por separado muestran que 1^n de poder da un resultado estable igual a 1 como n se aproxima a 0. Usted puede combinar los dos límites resultados para reclamar que (x/x)^n de los rendimientos de un valor estable de 1 como x y n se aproxima a 0.

Que no es lo mismo como decir que la ecuación (0/0)^0 = 1 es cierto, porque, por sí mismo, la ecuación de la apelación a una singularidad excepción en tanto la división y exponenciación funciones. Yo creo que lo más que podemos decir es que en el límite de los operandos enfoque de cero, la ecuación es verdadera.