Siempre he destinado para sentarse y averiguar algunos ejemplos. OK, lo tengo. Creo que el siguiente funciona en cualquier campo (incluyendo campos finitos y los números de los campos), y así debe ser la norma (a menos que se me haya pasado por alto algo).
Deje E E′ ser no isogenous curvas elípticas sobre un campo k (es decir, no distinto de cero mapas entre ellos a lo largo de k), y G un esquema de grupo de primer orden p k que se produce en el interior de ambos EE′. Fijar tales incrustaciones. (por ejemplo, E E′ sobre un campo de número con split p-torsión y G=Z/pZ incrustados en cada uno). Incrustar G en diagonal E×E′, y deje A=(E×E′)/G.
Yo reclamo que cualquier polarización de A k tiene el grado divisible por p. (Por lo tanto, esto da ejemplos de abelian superficies sin director de la polarización, y también en char. p>0 ejemplos con no separables de polarización mediante el uso de no-isogenous ordinario de curvas elípticas.) Supongamos lo contrario, y deje ϕ:A→At denotar el simétrica isogeny que "es" tal polarización (yo no estoy seguro de si deberíamos llamar a ϕ la polarización, o ser más simétrica y llame a (1,ϕ)∗(PA)
en A×At la polarización), por lo deg(ϕ)=d2 donde p no divide d.
Debido a la definición de A, el mapa de j:E→A inducida a través de la inclusión en el primer factor de E×E′, seguido por la proyección de trivial núcleo y por lo tanto es una subvariedad cerrada. También hay el doble de mapa de jt:At→Et, y por el teorema general de polarizaciones el mapa compuesto
f:Ej→Aϕ→Atjt→Et
es un simétrica isogeny que "es" una polarización de la E. En particular, deberá tener la plaza de grado. Asimismo, obtener una simétrica isogeny f′:E′→E′t que
"es" una polarización de la E′.
Considerar el cociente mapa de q:E×E′→A que es un isogeny de grado p. El doble mapa
pt:At→(E×E′)t≃Et×E′t
es también un isogeny el mismo grado, y el compuesto mapa
E×E′q→ϕ→tqt→Et×E′t
debe ser un producto directo de un par de mapas de E→Et
y E′→E′t desde E E′ se supone que no ser k-isogenous.
Estos mapas deben, respectivamente, se f f′ como se define arriba. En particular, dado que el grado de ϕ no es divisible por p, pero los grados de q qt es igual a p, y además cada uno de f f′ tiene plaza de grado, llegamos a la conclusión de que uno de f o f′ tiene el grado no divisible por p y el otro tiene un grado divisible por p2. Pero una curva elíptica tiene un único polarización de cada cuadrado de grado m2, es decir, el compuesto de [m] con la canónica autoduality (con el signo correcto para obtener la amplitud de la condición). En particular, el kernel es el m-torsión. De ello se desprende que uno de f o f′ tiene un kernel con trivial p -, y el otro tiene un núcleo que contiene la totalidad de la p-torsión.
Ahora E E′ son cada naturalmente abelian subvariedades de A, e ϕ es un isomorfismo en p-divisible entre grupos (desde el grado es el primer a p), por lo que el p-partes de los respectivos núcleos de f f′ debe ser donde cada uno cumple con las p-parte del núcleo de qt. Para uno de f o f′, esto es todo lo p-torsión de la correspondiente curva elíptica, y, en particular, contiene G. Pero E E′ A conocer exactamente G (esquema-en teoría) debido a la construcción de A, de donde G se encuentra en los dos núcleos. Pero uno de los núcleos trivial p-parte. Contradicción.