no principalmente polarizada complejo abelian variedades

Question

He leído en (los resúmenes de los papeles que hay abelian variedades sobre los campos de característica positiva que admitir que no prinicipal de la polarización. Al parecer no es la cosa más fácil para encontrar un ejemplo de, pero yo estaba pensando que debería ser mucho más fácil sobre los números complejos.

Todos abelian variedades de dimensión 1 son curvas elípticas que siempre tienen un director de polarización. Por lo que cualquier ejemplo tendría que ser, al menos, dos dimensiones. Así que mi pregunta es, dado un abelian variedad de polarización, ¿hay una buena manera de decirle a si hay o no un director de la polarización?

O si eso es en general una pregunta difícil, hay algunos relativamente simples ejemplos donde realmente se puede ver que hay o no cualquier director polarizaciones?

Answer 1

Aquí es otra construcción, seguido por algunos comentarios sobre cómo resolver el problema de la existencia del problema en general.

Si $A$ $g$- dimensional principalmente polarizada abelian variedad de más de $\mathbf{C}$$\operatorname{End} A = \mathbf{Z}$, e $G$ es un subgrupo finito cuyo orden $n$ no es un $g$-ésima potencia, $B:=A/G$ es un abelian variedad que no admite principal de la polarización.

Prueba: Si $B$ tenía un director polarización, su retirada a $A$, dado por la composición de la $A \to B \to B' \to A' \simeq A$ (donde $A'$ es el doble de $A$ y así sucesivamente) sería un endomorfismo de grado $n^2$. Pero este endomorfismo es la multiplicación por$m$ para algunos entero $m$, que tiene un grado $m^{2g}$. Por lo $n$ tendría que ser un $g$-ésima potencia. $\square$

Para completar esta respuesta, se observa que la mayoría de abelian variedades de $A$ $\mathbf{C}$ satisfacer $\operatorname{End} A=\mathbf{Z}$. Un ejemplo claro es el Jacobiano de la hyperelliptic curva que es el buen proyectiva modelo de los afín a la curva de $$y^2= a_{2g+1} x^{2g+1} + \cdots + a_1 x + a_0$$ donde $a_{2g+1},\ldots,a_0 \in \mathbf{C}$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbf{Q}$.

Observaciones:

1) por supuesto, no hay razón para restringir a $\mathbf{C}$. Por ejemplo, uno puede encontrar los ejemplos más de $\mathbf{Q}$ utilizando el hecho de que el endomorfismo anillo inyecta en el endomorfismo anillo de la reducción del modulo cualquier prime de buena reducción, y la combinación de esta información con varios de los números primos.

2) Para una arbitraria abelian variedad $A$, si se le da una polarización $A \to A'$, entonces, si hay un director de polarización, después de la primera por la inversa de la segunda a dar un endomorfismo de $A$. Así que una manera de responder a la existencia de la pregunta es determinar el endomorfismo anillo de $A$ y para el estudio de las endomorphisms que el factor a través de su polarización. (Eso no es suficiente, pero te da una idea de la complejidad del problema desde la determinación del endomorfismo anillo puede ser bastante difícil.)

Answer 2

Siempre he destinado para sentarse y averiguar algunos ejemplos. OK, lo tengo. Creo que el siguiente funciona en cualquier campo (incluyendo campos finitos y los números de los campos), y así debe ser la norma (a menos que se me haya pasado por alto algo).

Deje $E$ $E'$ ser no isogenous curvas elípticas sobre un campo $k$ (es decir, no distinto de cero mapas entre ellos a lo largo de $k$), y $G$ un esquema de grupo de primer orden $p$ $k$ que se produce en el interior de ambos $E$$E'$. Fijar tales incrustaciones. (por ejemplo, $E$ $E'$ sobre un campo de número con split $p$-torsión y $G = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ incrustados en cada uno). Incrustar $G$ en diagonal $E \times E'$, y deje $A = (E \times E')/G$.

Yo reclamo que cualquier polarización de $A$ $k$ tiene el grado divisible por $p$. (Por lo tanto, esto da ejemplos de abelian superficies sin director de la polarización, y también en char. $p > 0$ ejemplos con no separables de polarización mediante el uso de no-isogenous ordinario de curvas elípticas.) Supongamos lo contrario, y deje $\phi:A \rightarrow A^{\rm{t}}$ denotar el simétrica isogeny que "es" tal polarización (yo no estoy seguro de si deberíamos llamar a $\phi$ la polarización, o ser más simétrica y llame a $(1,\phi)^{\ast}(\mathcal{P}_A)$ en $A \times A^{\rm{t}}$ la polarización), por lo ${\rm{deg}}(\phi) = d^2$ donde $p$ no divide $d$.

Debido a la definición de $A$, el mapa de $j:E \rightarrow A$ inducida a través de la inclusión en el primer factor de $E \times E'$, seguido por la proyección de trivial núcleo y por lo tanto es una subvariedad cerrada. También hay el doble de mapa de $j^{\rm{t}}:A^{\rm{t}} \rightarrow E^{\rm{t}}$, y por el teorema general de polarizaciones el mapa compuesto $$f:E \stackrel{j}{\rightarrow} A \stackrel{\phi}{\rightarrow} A^{\rm{t}} \stackrel{j^{\rm{t}}}{\rightarrow} E^{\rm{t}}$$ es un simétrica isogeny que "es" una polarización de la $E$. En particular, deberá tener la plaza de grado. Asimismo, obtener una simétrica isogeny $f':E' \rightarrow {E'}^{\rm{t}}$ que "es" una polarización de la $E'$.

Considerar el cociente mapa de $q:E \times E' \rightarrow A$ que es un isogeny de grado $p$. El doble mapa $$p^{\rm{t}}:A^{\rm{t}} \rightarrow (E \times E')^{\rm{t}} \simeq E^{\rm{t}} \times {E'}^{\rm{t}}$$ es también un isogeny el mismo grado, y el compuesto mapa $$E \times E' \stackrel{q}{\rightarrow} \stackrel{\phi}{\rightarrow}^{\rm{t}} \stackrel{q^{\rm{t}}}{\rightarrow} E^{\rm{t}} \times {E'}^{\rm{t}}$$ debe ser un producto directo de un par de mapas de $E \rightarrow E^{\rm{t}}$ y $E' \rightarrow {E'}^{\rm{t}}$ desde $E$ $E'$ se supone que no ser $k$-isogenous. Estos mapas deben, respectivamente, se $f$ $f'$ como se define arriba. En particular, dado que el grado de $\phi$ no es divisible por $p$, pero los grados de $q$ $q^{\rm{t}}$ es igual a $p$, y además cada uno de $f$ $f'$ tiene plaza de grado, llegamos a la conclusión de que uno de $f$ o $f'$ tiene el grado no divisible por $p$ y el otro tiene un grado divisible por $p^2$. Pero una curva elíptica tiene un único polarización de cada cuadrado de grado $m^2$, es decir, el compuesto de $[m]$ con la canónica autoduality (con el signo correcto para obtener la amplitud de la condición). En particular, el kernel es el $m$-torsión. De ello se desprende que uno de $f$ o $f'$ tiene un kernel con trivial $p$ -, y el otro tiene un núcleo que contiene la totalidad de la $p$-torsión.

Ahora $E$ $E'$ son cada naturalmente abelian subvariedades de $A$, e $\phi$ es un isomorfismo en $p$-divisible entre grupos (desde el grado es el primer a $p$), por lo que el $p$-partes de los respectivos núcleos de $f$ $f'$ debe ser donde cada uno cumple con las $p$-parte del núcleo de $q^{\rm{t}}$. Para uno de $f$ o $f'$, esto es todo lo $p$-torsión de la correspondiente curva elíptica, y, en particular, contiene $G$. Pero $E$ $E'$ $A$ conocer exactamente $G$ (esquema-en teoría) debido a la construcción de $A$, de donde $G$ se encuentra en los dos núcleos. Pero uno de los núcleos trivial $p$-parte. Contradicción.