Es $\mathbf{Rel}$ ¿previo al aditivo?

Question

En primer lugar, fijo algunas anotaciones: los objetos están dados por Ob Rel \= Ob Establecer . Los morfismos vienen dados por $\hom(A,B)= \mathcal{P}(A \times B)$ . Dejemos que $R \colon A \to B$ y $S \colon B \to C$ . La composición viene dada por $(a,c) \in S \circ R \iff \exists b ~ \text{s.t.} ~ (a,b) \in R ~ \text{and} ~ (b,c) \in S$ .

Esta categoría, corríjanme si me equivoco, es semi-aditiva con producto y coproducto dados por la unión disjunta.

Me gustaría saber si se trata de un aditivo. ¿Se pueden enriquecer los conjuntos hom con una estructura de grupo bilineal con respecto a la composición? Propongo la siguiente estructura de grupo:

$R+S := (R \cup S) - (R \cap S)$

Answer 1

Dada una categoría $\mathcal{C}$ con un objeto cero y un biproducto (es decir, un coproducto canónicamente isomorfo al producto), existe (hasta el isomorfismo) como máximo una estructura aditiva en $\mathcal{C}$ . De hecho, teniendo en cuenta $f, g : X \to Y$ debemos tener: $$f + g = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f & 0 \\ 0 & g \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \nabla \circ (f \oplus g) \circ \Delta$$ En particular, para $\mathbf{Rel}$ Esto da como resultado $\cup$ como la operación binaria sobre conjuntos hom. Esto no es cancelativo, por lo que no hay manera de hacer $\mathbf{Rel}$ en una categoría aditiva.

Answer 2

Se puede pensar en morfismos en $\text{Rel}$ como matrices sobre un determinado sembrar , es decir, el sembrado de la verdad $\{ 0, 1 \}$ . Es el semirremate de subconjuntos de un conjunto de un elemento, con la suma dada por la unión (¡no la diferencia simétrica!) y la multiplicación dada por la intersección. De forma equivalente, es el semirrecordatorio $\text{End}(1)$ en $\text{Rel}$ .

Este semirremolino no es, evidentemente, un anillo, ya que su operación de adición no es cancelativa, por lo que no hay razón para esperar la aditividad. El mismo razonamiento se aplica a las categorías de matrices sobre semirres más generales.