Dado un campo finito F con elementos c, ¿cómo se puede probar que hay infinitos polinomios que representan la función cero sobre el campo F? Sé que tenemos infinitamente muchos polinomios sobre este campo, ¿no es sencillo que al elegir todos los coeficientes para ser cero todos esos infinitos polinomios son funciones cero?
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Micah
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Hay finamente muchas funciones sobre un campo finito. Hay infinitamente muchos polinomios sobre un campo finito. Por el principio de encasillamiento, se deduce que hay infinitamente muchos polinomios que representan la misma función.
La diferencia de cualquiera de estos dos polinomios representará la función cero.
Olivier
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Denota por $f_1, f_2, \dots , f_n$ los elementos del campo finito $ \mathbb {F}$ . Luego $$ f(x) = (x-f_1)(x-f_2) \cdots (x-f_n) \not = 0 \in \mathbb {F}[x], $$ aunque la función $ \mathbb {F} \ni a \mapsto f(a)$ es idénticamente cero.
Los poderes $f(x)^n$ , $n \in \mathbb {N}$ le proporcionan infinitamente muchos polinomios diferentes que no son cero y que representan la función cero.
