Evaluar : $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^2x\,dx}{\cos^2x+4\sin^2x}$

Question

Evaluar: $$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^2x\,dx}{\cos^2x+4\sin^2x}$$

Primera aproximación :

$$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^2x\,dx}{\cos^2x+4(1-\cos^2x)}$$

$$=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^2xdx}{4 - 3\cos^2x}$$

$$=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{3}\{\frac{4-3\cos^2x-4}{4 - 3\cos^2x}\}\,dx$$

$$=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{3}\{ 1- \frac{4}{4 - 3\cos^2x}\}\,dx$$

$$=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{3} 1\,dx- \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{3} \frac{4\sec^2x}{4\sec^2x - 3}\,dx$$

$$=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{3} 1\,dx \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{3} \frac{4 \s^2x}{4(1+\bronceado^2x) - 3}\,dx$$

Ahora puedo poner fácilmente $\tan x = t$ y me sale $\sec^2x \,dx =dt$

Segundo método :

$$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^2x\,dx}{\cos^2x+4\sin^2x}$$

Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos^2x$ obtenemos :

$$=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{dx}{1 +4\tan^2x}$$

$$=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{dx}{(4)\{\frac{1}{4} +\tan^2x\}}$$

$$=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{dx}{(4)\{\{\frac{1}{2}\}^2 +(\tan x)^2\}}$$

Podemos aplicar esta fórmula de la integral de aquí :

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}$$

Lo intenté, pero no su trabajo aquí, yo creo que haciendo algún tipo de manipulación que pueden poner en práctica esta aquí.. por Favor, sugiera gracias...

Answer 1

Utilice el hecho de que

$$3 \int_0^{\pi/2} dx \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}+4 \sin^2{x}} = 3 \int_0^{\pi/2} dx \frac{\cos^2{x}}{4-3 \cos^2{x}} = 4 \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{4-3 \cos^2{x}} - \int_0^{\pi/2} dx$$

Así que considere la primera integral en el lado derecho:

$$4 \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{4-3 \cos^2{x}} = 2 \int_0^{2 \pi} \frac{dy}{5-3 \cos{y}}$$

Podemos evaluar esta última integral el uso de residuos de la teoría. Vamos $z=e^{i y}$, $dy = -i dz/z$ así que

$$2 \int_0^{2 \pi} \frac{dy}{5-3 \cos{y}} = -i 4 \oint_{|z|=1} \frac{dz}{10z-3(z^2+1)}$$

El denominador tiene ceros en$z=1/3$$z=3$; de estos, sólo $z=1/3$ se encuentra dentro del círculo unidad. Por lo tanto la integral es

$$(i 2 \pi) \frac{-i 4}{10-6 (1/3)} = \pi$$

Entonces

$$\int_0^{\pi/2} dx \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}+4 \sin^2{x}} = \frac{\pi-(\pi/2)}{3} = \frac{\pi}{6}$$

ANEXO

Alternativamente, usted puede sustituir $t=\tan{(y/2)}$, $dy = 2 dt/(1+t^2)$, $\cos{y} = (1-t^2)/(1+t^2)$, y, a continuación,

$$2 \int_0^{2 \pi} \frac{dy}{5-3 \cos{y}} = \int_0^{\infty} \frac{dt}{(1/4)+t^2} = \frac{\pi}{2} 2 = \pi$$

Answer 2

Multiplicar y dividir por $\sec^{4}(x)$ y ver si funciona. El denominador se convierte en $$\sec^{2}(x) + 4 \tan^{2}(x) \sec^{2}(x)$$ Now use $1+\tan^{2}(x)=\s^{2}(x)$.

Así

• En el numerador se tiene $\sec^{2}(x)$

• En el denominador se tiene $\sec^{2}(x) \cdot \left(1+4\tan^{2}(x)\right) = (1+\tan^{2}(x))\cdot(1+4\tan^{2}(x))$.

• Ahora pon $t=\tan(x)$ y su integral se convierte en $$\int_{0}^{\infty} \frac{dt}{(1+t^{2}) \cdot (1+4t^{2})} = \int_{0}^{\infty} \left\{ \frac{1}{1+t^2} -\frac{4}{1+4t^2}\right\} \ dt$$

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Oh. Me perdí un truco. Tenga en cuenta que usted había $$\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1+4\tan^{2}(x)}$$ Now put $t = \tan(x)$. Then you have $dt = \s^{2}(x) \ dx $ and so $dx = \frac{dt}{(1+t^{2})}$.