La solución de la distribución de la ecuación diferencial

Question

Cómo resolver la ecuación diferencial en $\mathcal D'(R)$: $$u''+u=\delta'(x),$$ where $\delta$ es la función Delta de Dirac?

La solución de la homogénea problema es $C_1\cos{x}+C_2\sin{x}$, por lo que mediante la variación de parámetros, conseguí que la solución final para el problema debe ser: $$-\cos{x}\int\delta'(x)\sin{x}\mathrm dx+\sin{x}\int\delta'(x)\cos{x}\mathrm dx,$$ pero no sé cómo evaluar las integrales $\int\delta'(x)\sin{x} \mathrm dx$, $\int\delta'(x)\cos{x}\mathrm dx$. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

La integración por partes, tenemos $$\int\delta'(x)\sin x \ dx = \delta(x)\sin x \int\delta(x)\cos x\ dx = 0 - \theta(x) = -\theta(x),$$ donde $\theta(x)$ es la función escalón unitario. (La distribución de productos de $\delta(x)$ $\sin x$ es cero.) Yo se lo dejo a usted para demostrar que $\int\delta'(x)\cos x\ dx = \delta(x)$.

Es un buen ejercicio para mostrar que el resultado de la solución particular $$u(x) = \theta(x)\cos x$$ satisface la no homogénea de la ecuación diferencial.