¿Por qué es $L'=Lb'$?

Question

Estoy leyendo Rotman - Avanzado y Moderno de Álgebra p.566, y me quedé atrapado en la prueba de Lema 8.61-(iii)

Aquí son algunos de los lemas que el autor presentó a probar lema 8.61: (Aquí, todos los anillos se supone que tienen una unidad)

Lema 8.53 -(i)

Deje $R$ ser un anillo y $I,J$ ser mínimo de izquierda ideales de $R$. Si $I^2\neq 0$ $I\cong J$ $R$- módulos, a continuación,$IJ\neq 0$.

Lema 8.53 -(ii)

Deje $R$ ser un anillo y $I,J$ ser mínimo de izquierda ideales de $R$ tal que $IJ\neq 0$. A continuación, $Hom_R(I,J)\neq 0$ y no existe $b'\in J$ tal thay $J=Ib'$.

Ahora aquí es una parte de la prueba para Lemma8.61-(iii), donde me quedé atrapado:

Deje $R$ ser un anillo semisimple y $B_1,...,B_n$ ser los componentes simples de $R$. Deje $D$ ser un valor distinto de cero a dos caras ideal en $R$. Desde $R$ es semisimple, $R$ es Artinian. Por lo tanto, existe un mínimo de izquierda-ideal $L$ $R$ tal que $L\subset D$. Desde $L$ es mínima, $L\subset B_i$ algunos $i$. Pretendemos que $B_i\subset D$. Deje $L'$ ser otro mínima izquierda ideal de $R$ tal que $L'\subset B_i$. (Tenga en cuenta que $L\cong L'$ $R$- módulos en este caso) , existe $b'\in L'$ tal que $L'=Lb'$.

No puedo entender cómo esta última frase es verdad. Usando el lema 8.53-(i),(ii), es suficiente para demostrar que $L^2\neq 0$. Pero, ¿cómo?

Answer 1

De curso $L^2\neq 0$, debido a que es un cero a la izquierda ideal de un simple anillo. (El de la izquierda aniquilador de $L$ $B_i$ es un ideal de a $B_i$.)

$LL'$ es un valor distinto de cero submódulo de $L'$. No puede ser que $Lx=\{0\}$ todos los $ x\in L'$. Por lo tanto, no existe un $x$ tal que $Lx$ es distinto de cero. Ya que es un cero a la izquierda ideal contenido en $L'$, es igual a $L'$.