Clasificados conmutatividad de la copa, en Hochschild cohomology

Question

Estoy tratando de acostumbrarme a la Hochschild cohomology de álgebras mediante la demostración de sus propiedades. Actualmente estoy tratando de mostrar que la copa del producto es calificado conmutativa (porque me enteré de esto en alguna parte); sin embargo, mi problema es que no tengo idea de lo que exactamente las condiciones para que esto se sostenga.

Como siempre en Hochschild cohomology, empezamos con un álgebra de Una y Un bimodule M. Se supone que es unital? En el artículo original de Hochschild, no lo es, y las pruebas que iba a ser incluso más difícil si suponemos que sea. Por otro lado, tengo algunos problemas de trabajar con no-unital álgebras parecen tan raro para mí. Es estándar para uso no unital álgebras de 60 años después de Hochschild de los artículos?

De todos modos, este no es el principal problema. El principal problema es que no tengo idea de lo que requieren de Una y M. De curso, M debe ser de Una a-álgebra, no sólo un módulo, para la copa del producto a tener sentido. Ahora:

• Debe ser conmutativa?

• Debe ser M conmutativa?

• Debe M es simétrica A-bimodule? (Es decir, am = ma para todas de una en Una y m M.)

Tengo algunas dudas que si necesitamos todo esto, entonces todavía podemos obtener algo útil (de hecho, el más común caso particular de Hochschild cohomology es el grupo cohomology, y está tan lejos de la "simétrica A-bimodule" caso como lo puede ser), pero puedo estar completamente equivocado.

Como parece ser que hay diferentes definiciones de Hochschild cohomology en la literatura, me deja grabar la mía:

Para una k-álgebra a y un A-bimodule M, definimos el n-ésimo de la cadena de grupo$C^n \left(A, M\right)$$\mathrm{Hom}\left(A^{\otimes n}, M\right)$, con un diferencial mapa

$\delta : C^n \left(A, M\right) \to C^{n+1} \left(A, M\right)$,

$\left(\delta f\right) \left(a_1 \otimes ... \otimes a_{n+1}\right) = a_1 f\left(a_2 \otimes ... \otimes a_{n+1}\right)$ $ + \sum\limits_{i=1}^{n} f\left(a_1 \otimes ... \otimes a_{i-1} \otimes a_{i}a_{i+1} \otimes a_{i+2} \otimes ... \otimes a_{n+1}\right) + \left(-1\right)^{n+1} f\left(a_1 \otimes ... \otimes a_n\right) a_{n+1}$.

El cohomology es entonces la homología de la resultante compleja, y si M es un A-álgebra, la copa del producto está dada por

$\left(f\cup g\right)\left(a_1 \otimes ... \otimes a_{n+m}\right) = f\left(a_1 \otimes ... \otimes a_n\right) g\left(a_{n+1} \otimes ... \otimes a_{n+m}\right)$.

Soy consciente de este artículo por Arne B. Sletsjøe, pero define Hochschild cohomology de manera diferente (por el uso de $\left(-1\right)^{n+1} a_{n+1} f\left(a_1 \otimes ... \otimes a_n\right)$ en lugar de $\left(-1\right)^{n+1} f\left(a_1 \otimes ... \otimes a_n\right) a_{n+1}$); esta definición es sólo equivalente a la mina si M es simétrica a-módulo, de modo que no me ayude a averiguar si esto es necesario asumir.

Gracias por la ayuda, y lo siento si los contraejemplos son tan obvias que soy un idiota por no encontrar en mi propia...

Answer 1

La copa del producto en Hochschild cohomology$H^\bullet(A,A)$ se clasifica conmutativa para todos unitario álgebras. Si $M$ $A$- bimodule, entonces el cohomology $H^\bullet(A,M)$ con valores en $M$ es un simétrica gradual bimodule $H^\bullet(A,A)$.

(Si $M$ sí también es un álgebra de tal forma que su multiplicación mapa de $M\otimes M\to M$ es un mapa de $A$-bimodules, a continuación, en general $H^\bullet(A,M)$ no es conmutativa (por ejemplo, tome $A=k$ a ser el campo de tierra, y $M$ a un arbitrario no conmutativa de álgebra! No sé de un criterio para commutatitivity en este caso)

Estos resultados apareció originalmente en [M. Gerstenhaber, El cohomology de la estructura de un anillo asociativo, Ann. de Matemáticas. (2) 78 (1963), 267-288.], y son discutidos en detalle en [Gerstenhaber, Murray; Schack, Samuel D. Algebraicas cohomology y la deformación de la teoría. La deformación de la teoría de álgebras y estructuras y aplicaciones (Il Ciocco, 1986), 11--264, la OTAN Adv. de la lesión. Inst. La Ser. C Matemáticas. Phys. Sci., 247, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1988.] Ambas referencias dar pruebas de un lugar computacional de la naturaleza.

Usted puede encontrar un elemento libre de la prueba de la graduales de la conmutatividad en este papel, que por otra parte se aplica a la taza-productos de muchas otras cohomologies.

En cuanto a lo que sucede con los unital álgebras, no sé. Pero son muy utilizados hoy en día como lo eran antes. Un contexto particular en el que se presentan constantemente en la intersección de K-teoría y el análisis funcional, donde la gente del estudio `álgebras de' que en realidad sólo son ideales en anillos de operadores de espacios funcionales---una egregius ejemplo es el álgebra de operadores compactos en un espacio de Hilbert.

Por cierto, decir que el grupo cohomology es un caso especial de Hochschild cohomology: es sólo en un sentido... Hay una estrecha relación entre el grupo cohomology $H^\bullet(G,\mathord-)$ de un grupo de $G$, y el Hochschild chomology $H^\bullet(kG,\mathord-)$ del grupo de álgebra, pero no son el mismo. Puede utilizar la segunda para el cálculo de la primera (porque más generalmente, si $M$ $N$ $G$- módulos, a continuación,$\mathord{Ext}_{kG}^\bullet(M,N)=H^\bullet(kG, hom(M,N))$, donde a la derecha tenemos Hochschild cohomology de el grupo de álgebra $kG$ con los valores de la $kG$-bimodule $\hom(M,N)$), pero el "principal" grupo de cohomology $H^\bullet(G,k)$ es sólo una pequeña parte de los "principales" Hochschild cohomology $H^\bullet(kG,kG)$.

Finalmente, en el documento de Sletsjøe la definición del límite está dado como usted dice, porque él sólo considera conmutativa álgebras y sólo el principal de los coeficientes, que es $H^\bullet(A,A)$.