Una función medible en un átomo es casi constante en todas partes

Question

Deje $f \in m(\Omega,\mathcal{F})$, es decir, $f \mapsto [-\infty,\infty]$ y deje $A \in \mathcal{F}$ ser un átomo. Demostrar que $f$ es casi constante en todas partes en Un: existe $k \in [-\infty,\infty]$ tal que

$\mu (\{\omega \in A : f(\omega) \neq k \} )=0$.

Yo estaba pensando en dejar a $k=\frac{1}{\mu(A)}\int \limits_{A} f\,d\mu$.

A continuación, vamos a $B=\{\omega \in A :f(\omega) \neq k \}$. Puesto que a es un átomo, y B es un subconjunto de a, a continuación,$\mu(B)=0$, en caso de que lo hayamos hecho, o $\mu(B)=\mu(A)$. Así que tengo que mostrar que $\mu(B)<\mu(A)$.

Answer 1

Parece que casi tienen: Intentar repartir $B$ en dos sets.

Más detalles:

Definir $k$ como lo hizo: $k\mu(A) = \int_{A} f \text{d}\mu$.

Deje $B_1 = A \cap \{x: f(x) \gt k\}$

Si $\mu(B) \gt 0$, entonces a partir de la $A$ es atómica, tenemos $\mu(A) = \mu(B)$ y por lo tanto

$ k\mu(A) = \int_{A} f \text{d}\mu = \int_{B_1} f \text{d}\mu \gt \int_{B_1} k\ \text{d}\mu = \int_{A} k\ \text{d}\mu = k \mu(A)$

Por lo tanto, debemos tener ese $\mu(B_1) \lt \mu(A)$, $\mu(B_1) = 0$.

Del mismo modo $\mu(B_2) = 0$ donde $B_2 = A \cap \{x: f(x) \lt k\}$