Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x}=2$ no se sigue que la $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2}=1$?

Question

Necesito mostrar que la siguiente afirmación es verdadera o falsa. $$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x}=2 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2}=1$$

Yo consideraba $f(x)=x^2$, y parece que la declaración es verdadera. Si es así, ¿cómo puedo probar esto? O tal vez hay un contraejemplo?

Le agradezco su ayuda.

Answer 1

Desde

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x} =2,$$

tenemos que $f'(x) > x$ para suficientemente grande $x$. Con esto, podemos demostrar que $f(x)$ aumenta sin límite (es decir,$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$). Por lo tanto el límite de $f(x)/x^2$ cumple con la hipótesis de l'Hospital, por lo que $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2}= \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x} = 2 \cdot \frac{1}{2}=1.$$

Como Pedro Tamaroff menciona en los comentarios en otro lugar de esta página, la asunción (en de l'Hospital de la regla) que nuestro numerador tiende a infinito en realidad es superfluo: es suficiente para el denominador para ir hasta el infinito.

Answer 2

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f'(x)}{x}=2$, por lo $\lim\limits_{x\to\infty}{f'(x)}$ es igual a $\infty$. Ahora se aplican De L'Hospital de la regla de la segunda límites y el resultado de la siguiente manera.